Krümmungskreise

 Während die reelle Zahl f ′(p) eine einfache geometrische Bedeutung als lokale Steigung besitzt, ist die geometrische Bedeutung der Zahl f ″(p) komplizierter. Sie lässt sich nicht direkt als Maß für die Gekrümmtheit des Graphen von f an der Stelle p ansehen. Für die Parabel f gilt zum Beispiel f ″ = 2, aber die Parabel ist sicherlich nicht überall gleich stark gekrümmt. Umgekehrt hat der obere Halbkreis f : [ −1, 1 ] → ℝ mit f (x) = (1 − x²)^1/2 eine konstante anschauliche Krümmung, aber keine konstante zweite Ableitung in ] −1, 1 [. Um die Frage zu beantworten, wie die Krümmungszahl oder kurz Krümmung einer Funktion in einem Punkt definiert werden kann, betrachten wir das folgende Diagramm:

 Gegeben ist eine in einem Punkt p zweimal differenzierbare Funktion f mit f ″(p) > 0, zusammen mit ihrer Tangente g und der zu g senkrechten Geraden h durch den Punkt P = (p, f (p)). Nun bilden wir Kreise K_r durch P mit Radius r, deren Mittelpunkte M_r auf h liegen. Mit φ = arctan f ′(p) gilt

Wir fragen:

Für welchen Radius r > 0 approximiert der Kreis K_r

die Funktion f im Punkt P am besten?

Dieses r werden wir den Krümmungsradius von f an der Stelle p nennen. Einem Kreis wollen wir sicher eine konstante Krümmung zuweisen, und 1/r ist ein gutes Maß für die Krümmung eines Kreises mit Radius r, da die anschauliche Gekrümmtheit eines Kreises mit wachsendem Radius abnimmt. Dann ist aber 1/r auch ein gutes Maß für die Krümmung von f an der Stelle p.

 Zur Ermittlung eines optimalen Radius r stellen wir den Kreis K_r in einer Umgebung von p durch eine Funktion h_r : [ p − ε, p + ε ] → ℝ dar,

h_r(x)  =  − $\sqrt{{\mathrm{r}}^2-(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2}$  +  y_r  für alle x  ∈  [ p − ε, p + ε ].

Für alle r > 0 gilt h_r(p) = f (p) und h_r′(p) = f ′(p). Ein optimales r ist nun durch die Bedingung

(+)  h_r″(p)  =  f ″(p)

ausgezeichnet. Ableiten von h_r liefert

h_r′(x)  =  $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}}{\sqrt{{\mathrm{r}}^2-(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2}}$,   h_r″(x)  =  $\frac{{\mathrm{r}}^2}{{\left({\mathrm{r}}^2-(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2\right)}^{3/2}}$,

sodass für ein optimales r gilt:

$\frac{{\mathrm{r}}^2}{{\left({\mathrm{r}}^2-(\mathrm{p}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}}){\mathrm{}}^2\right)}^{3/2}}$  =  f ″(p).

Setzen wir im Nenner

(p  −  x_r)²  =  r² (sin arctan f ′(p))²  =  ^{r2 f ′(p)2}_{1  +  f ′(p)²},

so erhalten wir schließlich:

(++)  $\frac{{\left(1+\text{f\hspace{0.05em}′}(\mathrm{p}){\mathrm{}}^2\right)}^{3/2}}{\mathrm{r}}$  =  ^{∥ (1, f ′(p)) ∥3}_r  =  f ″(p)

Dabei bezeichnet ∥ v ∥ für die Euklidische Länge eines Vektors v der Ebene, sodass

∥ v ∥  =  $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$  =  |x  +  i y|  für  v  =  (x, y).

Damit haben wir eine Formel gefunden, die den optimalen Radius r in Abhängigkeit von f ′(p) und f ″(p) ausdrückt.

 Unseren Überlegungen folgend definieren wir:

 Im Fall f ′(p) = 0 werden die Formeln einfacher: Es gilt dann r_f(p) = |f ″(p)|⁻¹, und M_f(p) befindet sich auf der Senkrechten durch p.

 Die Mittelpunkte M_f(p) beschreiben in p eine Kurve in der Ebene, die sogenannte Evolute von f. (Solche Kurven werden wir in der „Analysis 2“ genauer studieren.) Die Evolute lässt sich nicht in allen Fällen als reelle Funktion darstellen, da verschiedene Mittelpunkte dieselbe x-Koordinate besitzen können. Für die Parabel ist dies jedoch der Fall.