Ausblick:  Die λ-Formulierung der Konvexität

 Wir diskutieren eine Formulierung der Konvexität, die oft zur Definition verwendet wird. Hierzu nutzen wir, dass jedes Intervall [ x1, x2 ] die folgende baryzentrische Darstellung besitzt:

[ x1, x2 ]  =  { (1 − λ) x1  +  λ x2 | 0  ≤  λ  ≤  1 }

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Zur baryzentrischen Darstellung des Intervalls [ x0, x1 ]:

Das Intervall wird in λ  ∈  [ 0, 1 ] gleichmäßig von links nach rechts durchlaufen.

Satz (Lambda-Konvexität)

Sei f : I → ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)

f ist konvex.

(b)

Für alle x1 < x2 in I und alle λ  ∈  [ 0, 1 ] gilt:

f ((1 − λ) x1  +  λ x2)  ≤  (1 − λ) f (x1)  +  λ f (x2).

Eine analoge Äquivalenz gilt für konkave Funktionen und weiter für die strengen Versionen der Konvexität und Konkavität (mit λ  ∈  ] 0, 1 [).

Beweis

Seien x1 < x2 in I. Wir definieren Geraden g, h : ℝ → ℝ durch

g(λ)  =  (1 − λ) x1  +  λ x2,

h(λ)  =  (1 − λ) f (x1)  +  λ f (x2)  für alle λ  ∈  ℝ.

Dann gilt

fx1, x2  ∘  g  =  h.

Denn die Funktionen fx1, x2 ∘ g und h sind jeweils Geraden durch (x1, f (x1)) und (x2, f (x2)). Damit ist

f  ≤  fx1, x2  auf  [ x1, x2 ]  =  g[ [ 0, 1 ] ]

äquivalent zu

f  ∘  g  ≤  fx1, x2  ∘  g  =  h  auf  [ 0, 1 ].

Damit sind die Konvexität von f und die Aussage (b) äquivalent.

 Die Lambda-Formulierung der Konvexität erlaubt die folgende Verallgemeinerung auf n Punkte x1, …, xn:

Satz (Jensen-Ungleichung)

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ konvex. Weiter seien λ1, …, λn > 0 mit λ1 + … + λn = 1. Dann gilt für alle x1, …, xn  ∈  I:

f (λ1 x1  +  …  +  λn xn)  ≤  λ1 f (x1)  +  …  +  λn f (xn).

Ist f streng konvex, so gilt Gleichheit genau dann, wenn x1 = … = xn.

Eine analoge Aussage gilt mit „≥“ statt „≤“ für konkave Funktionen.

 Der Beweis sei dem Leser überlassen. Als Anwendung der Ungleichung zeigen wir hier noch:

Satz (arithmetisches und geometrisches Mittel)

Seien λ1, …, λn ≥ 0 mit λ1 + … + λn = 1. Dann gilt für alle x1, …, xn > 0:

x1λ1 · … · xnλn  ≤  λ1 x1  +  …  +  λn xn.

Speziell ist das geometrische Mittel der Zahlen λ1, …, λn kleinergleich ihrem arithmetischen Mittel, d. h.

nx1·…·xn  ≤  x1 + … + xnn.

Beweis

Seien x1, …, xn > 0. Da die Funktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ konkav ist, gilt

log(λ1 x1  +  …  +  λn xn)  ≥  λ1 log(x1)  +  …  +  λn log(xn).

Aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion ist dann

λ1 x1  +  …  +  λn xn =  exp(log(λ1 x1  +  …  +  λn xn))
≥  exp(λ1 log(x1)  +  …  +  λn log(xn))
=  x1λ1 · … · xnλn.

Der Zusatz entspricht dem Spezialfall λ1 = … = λn = 1/n.

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Der Unterschied des geometrischen und arithmetischen Mittels für n = 2.

Dargestellt ist die Funktion f : [ 0, ∞ [ × [ 0, ∞ [ → ℝ mit

f(x, y)  =  x  +  y2  −  xy