Konvergenzergebnisse
Das Verschwinden der Restglieder wird in allen Intervallen erzwungen, in denen die Ableitungen uniform beschränkt sind. Genauer gilt:
Satz (Konvergenz der Taylor-Reihe bei uniform beschränkten Ableitungen)
Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ glatt. Weiter sei p ∈ I, und es seien
J1 = { p − r ∈ I | r ≥ 0, ∃s ≥ 0 ∀n ∀ξ ∈ ] p − r, p [ |f (n)(ξ)| ≤ s },
J2 = { p + r ∈ I | r ≥ 0, ∃s ≥ 0 ∀n ∀ξ ∈ ] p, p + r [ |f (n)(ξ)| ≤ s }.
Dann sind J1 und J2 Intervalle mit p ∈ J1, J2, und es gilt
f (x) = Tp f (x) für alle x ∈ J1 ∪ J2.
Weiter gilt: Ist J1 ∪ J2 ≠ { p }, so konvergiert Tpf (x) für alle x ∈ ℝ.
Beweis
Offenbar gilt p ∈ J1. Ist p − r ∈ J1 und ist 0 ≤ r′ < r, so ist auch p − r′ ∈ J1 (mit jeder Schranke s wie in der Definition von J1, die für p − r geeignet ist). Damit ist J1 ein Intervall.
Es gilt f (p) = Tp f (p). Sei also x = p − r ∈ J1 für ein r > 0, und sei s wie in der Definition von J1 für x. Dann gilt nach dem Satz von Taylor:
limn | f (x) − Tnp f (x) |
≤ limn supξ ∈ ] p − r, p [ | f (n + 1)(ξ)(n + 1)! (x − p)n + 1 |
≤ s limn rn + 1(n + 1)! = 0.
Damit gilt f (x) = Tp f (x) für alle x ∈ J1. Analoge Aussagen gelten für J2.
Zum Beweis des Zusatzes sei x ∈ J1 ∪ J2, x ≠ p. Weiter sei s wie in der Definition von J1 bzw. J2 für x. Aufgrund der Stetigkeit aller Ableitungen f (n) gilt dann auch |f (n)(p)| ≤ s für alle n, und damit ist
| |Tpf (x)| | ≤ ∑n | f (n)(p)n! (x − p)n | |
| ≤ s ∑n (x − p)nn! = s ex − p. |
Aus dem Satz erhalten wir die Reihenentwicklungen für exp, cos und sin, denn in allen drei Fällen ist J1 ∪ J2 = ℝ: Für exp können wir die Ableitungsschranken s = e0 für alle Intervalle ] −r, 0 [ und s = er für alle Intervalle ] 0, r [ verwenden. Für cos und sin ist s = 1 für alle r > 0 geeignet. Für log : ] 0, ∞ [ → ℝ und p = 1 erhalten wir dagegen J1 = J2 = { p }, sodass der Satz nicht anwendbar ist. Erst folgende Variante liefert ein positives Resultat:
Satz (Konvergenz der Taylor-Reihe bei uniform beschränkten Ableitungen, II)
Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ glatt. Weiter sei [ p, p + 1 ] ⊆ I für ein p ∈ I, und es gebe ein s mit
| f (n + 1)(x)n! | ≤ s für alle n und alle x ∈ ] p, p + 1 [.
Dann gilt f (x) = Tp f (x) für alle x ∈ [ p, p + 1 ]. Eine analoge Aussage gilt für Intervalle [ p − 1, p ].
Beweis
Wie immer ist f (p) = Tp f (p). Für alle x ∈ ] p, p + 1 ] gilt wie oben:
limn |f (x) − Tnp f (x)|
≤ limn supξ ∈ ] p, x [ | f (n + 1)(ξ)(n + 1)! (x − p)n + 1 | ≤ s limn 1n + 1(n + 1)! = 0.
Dieser Satz lässt sich auf den Logarithmus anwenden:
Korollar (Logarithmus-Reihe durch Restgliedabschätzung)
Es gilt
log(x) = T1log (x) = ∑n ≥ 1 (−1)n − 1n (x − 1)n für alle x ∈ [ 1, 2 ].
Speziell gilt
log(2) = 1 − 12 + 13 − 14 ± …
Beweis
Es gilt log(1) = 0 und für alle n ≥ 1 und x > 0 gilt
log(n)(x) = (−1)n − 1 (n − 1)! x−n, log(n)(1) = (−1)n − 1 (n − 1)!.
Damit ist s = 1 eine geeignete Schranke wie im vorangehenden Satz.
Damit haben wir den Grenzwert log(2) der alternierenden harmonischen Reihe identifiziert. Im nächsten Kapitel werden wir einen weiteren Beweis kennenlernen und sehen, dass die Logarithmus-Reihe in ] 0, 2 ] gegen log konvergiert.