Konvergenzradien
Wir beginnen mit einer Untersuchung des Konvergenzverhaltens. Da die Potenzreihe ∑n an (x − p)n in x genau dann konvergiert, wenn ∑n an xn in x − p konvergiert, können wir uns auf den Fall p = 0 beschränken. Der allgemeine Fall ergibt sich aus einer Verschiebung des Konvergenzbereichs um p. Die Konvergenz von ∑n an xn in ] −R, R [ ist gleichbedeutend mit der Konvergenz von ∑n an (x − p)n in ] p − R, p + R [. In diesem Sinne sind nur die Koeffizienten für das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe maßgeblich.
Die geometrische Reihe und der Konvergenztest von Weierstraß bringen die Untersuchung in Gang.
Satz (Konvergenzverhalten von Potenzreihen, I)
Sei ∑n an xn eine Potenzreihe mit Konvergenzbereich K. Weiter sei
R = sup { x ≥ 0 | (an xn)n ∈ ℕ ist beschränkt } ≤ ∞,
und es sei r ∈ [ 0, R [. Dann gilt [ −r, r ] ⊆ K, und die Reihe ∑n an xn konvergiert absolut und gleichmäßig auf [ −r, r ] gegen eine stetige Funktion.
Beweis
Für alle n sei fn : [ −r, r ] → ℝ definiert durch fn(x) = anxn für alle x ∈ [ −r, r ]. Wir zeigen, dass ∑n ∥ fn ∥ < ∞. Dann folgen die Behauptungen aus dem Konvergenztest von Weierstraß für Funktionenfolgen und der Stetigkeit der Funktionen fn.
Gegeben r wählen wir ein s zwischen r und R.
Sei s ∈ ] r, R [. Nach Definition von R gibt es ein y* ∈ ℝ mit
|an| sn ≤ y* für alle n.
Für alle x ∈ [ −r, r ] gilt dann
|an xn| = |an| sn |x|nsn ≤ y* (rs)n.
Damit ist
∥ fn ∥ ≤ y* (rs)n für alle n.
Wegen r/s ∈ ] 0, 1 [ gilt also nach der Konvergenz der geometrischen Reihe
∑n ∥ fn ∥ ≤ y* ∑n (rs)n = y* 11 − r/s = y* ss − r < ∞.
Aus dem Satz erhalten wir:
Korollar (Konvergenzverhalten von Potenzreihen, II)
Sei ∑n an xn eine Potenzreihe mit Konvergenzbereich K, und sei
R = sup { x ≥ 0 | (an xn)n ∈ ℕ ist beschränkt } ≤ ∞.
Dann gilt:
(a) | ∑n an xn konvergiert auf ] −R, R [ gegen eine stetige Funktion f. |
(b) | ∑n an xn divergiert für alle x mit |x| > R. |
Insbesondere ist also ] −R, R [ ⊆ K ⊆ [ −R, R ], und es gilt
R = sup { |x| | ∑n an xn konvergiert } ≤ ∞.
Im Fall R < ∞ können, wie die Beispiele in obiger Tabelle zeigen, für die beiden Randpunkte − R und R alle vier denkbaren Fälle der Konvergenz und Divergenz eintreten.
Unsere Ergebnisse legen die Verwendung von „Radius“ nahe.
Definition (Konvergenzradius)
Sei ∑n an xn eine Potenzreihe. Dann heißt
R = sup { |x| | ∑n an xn konvergiert } ≤ ∞
der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑n an xn.
Es gilt R = sup { x ≥ 0 | (an xn)n ∈ ℕ ist beschränkt }, sodass wir auch diese Form zur Definition verwenden können.
Der Konvergenzradius lässt sich mit Hilfe folgender Formeln bestimmen, die sich aus dem Wurzel- bzw. Quotientenkriterium ergeben (Beweis als Übung):
Satz (Berechnung des Konvergenzradius)
Sei ∑n an xn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Dann gilt, mit den Konventionen „1/0 = ∞“ und „1/∞ = 0“:
(a) | R = . (Formel von Cauchy-Hadamard) |
(b) | Ist an ≠ 0 für alle n, so gilt im Fall der Existenz des Grenzwerts R = 1limn |an + 1/an|. (Formel von Euler) |
Die Formel von Cauchy-Hadamard ist stets anwendbar, der Limes in der Formel von Euler existiert dagegen nicht in allen Fällen.
Die symmetrische Natur des Konvergenzbereichs
Für einen allgemeinen Entwicklungspunkt p ergibt sich folgendes Bild:
Über die Konvergenz in p − R und p + R ist keine allgemeine Aussage möglich.
Der Leser betrachte noch einmal die Diagramme zur Taylor-Entwicklung im letzten Kapitel. Die Konvergenzbereiche der Taylor-Reihen der dort betrachteten Funktionen lassen sich erahnen. Unsere neuen Ergebnisse zeigen, dass ihre (abgesehen von den Randpunkten) symmetrische Natur kein Zufall ist. Sie ist eine bemerkenswerte allgemeine Eigenschaft von Potenzreihen, die letztendlich auf eine Abschätzung durch eine geometrische Reihe zurückzuführen ist.
Folgerungen der Symmetrie
(1) | Sei x > 0. Konvergiert eine Potenzreihe ∑n an (x − p)n in p + x oder p − x, so konvergiert sie im ganzen Intervall ] p − x, p + x [. |
(2) | Seien f : P → ℝ stetig und p ∈ P. Weiter sei f nicht stetig fortsetzbar nach x* ∉ P (da zum Beispiel x* eine Polstelle von f ist). Dann kann eine f auf ] p − R, p + R [ ⊆ P darstellende Potenzreihe ∑n an (x − p)n höchstens den Konvergenzradius R = |p − x*| besitzen. |
Beispiele
(1) | Die geometrische Reihe ∑n xn divergiert bei 1, sodass K ⊆ [ −1, 1 [. Die Divergenz bei −1 kann nicht aus der Divergenz bei 1 gefolgert werden. |
(2) | Wir wissen, dass die Logarithmus-Reihe ∑n ≥ 1 (−1)n − 1/n (x − 1)n auf [ 1, 2 ] konvergiert. Also konvergiert sie auf ] 0, 2 ]. |
(3) | Eine Potenzreihen-Darstellung log(x) = ∑n an (x − 5)n kann höchstens den Konvergenzradius 5 besitzen. Analog kann tan(x) = ∑n bn (x − π/4)n höchstens in [ 0, π/2 [ gelten. |
Es wird sich zeigen, dass neben Polstellen auch unendliche Ableitungen den Konvergenzradius begrenzen. Eine Darstellung sqrt(x) = ∑n an (x − 1)2 der Quadratwurzelfunktion sqrt : [ 0, ∞ [ → ℝ kann höchstens in [ 0, 2 ] mit R = 1 gelten. Anschaulich formuliert: Potenzreihenentwicklungen breiten sich symmetrisch um p aus und bleiben beim ersten Hindernis hängen. Wir werden beim Arkustangens sehen, dass derartige Hindernisse in ℝ unsichtbar sein können (und erst in ℂ auftreten).