Die Logarithmus-Reihe
Das gliedweise Differenzieren erlaubt manchmal das Auffinden der Potenzreihendarstellung einer Funktion f ohne Berechnung der höheren Ableitungen: Es genügt, die Ableitung f ′ in eine Potenzreihe zu entwickeln. „Hochrechnen“ und Auswertung an einem Punkt liefert eine Potenzreihenentwicklung für f. Der Logarithmus ist ein berühmtes Beispiel hierfür. Die Ableitung
ddx log(1 + x) = 11 + x = 11 − (− x)
des um 1 nach links verschobenen Logarithmus lässt sich mit Hilfe der geometrischen Reihe in eine Potenzreihe entwickeln. Wir erhalten:
Satz (Logarithmus-Reihe oder Mercator-Reihe)
Für alle x ∈ ] −1, 1 [ gilt
log (x + 1) = ∑n ≥ 1 (−1)n − 1 xnn = x − x22 + x33 − …
Beweis
Für alle x ∈ ] −1, 1 [ gilt nach der geometrischen Reihe:
ddx log(x + 1) = 11 + x = ∑n (−1)n xn = 1 − x + x2 − x3 ± …
Die Reihe auf der rechten Seite ist die gliedweise differenzierte Reihe
∑n ≥ 1 (−1)n − 1 xnn = x − x22 + x33 ∓ …
Diese Reihe konvergiert auf dem Intervall ] −1, 1 [ gegen eine differenzierbare Funktion f. Nach dem Satz über das gliedweise Differenzieren gilt also
ddx log(1 + x) = ddx f (x) für alle x ∈ ] −1, 1 [.
Damit existiert ein c ∈ ℝ mit
f (x) − log(x + 1) = c für alle x ∈ ] −1, 1 [.
Wegen f (0) = 0 = log(1 + 0) ist c = 0. Dies zeigt die Behauptung.
f (x) = log(x + 1) und einige Taylor-Polynome fn mit
fn(x) = Tn0f (x) = ∑1 ≤ k ≤ n (−1)k − 1 xkk