Die Themen des Buches

Erster Abschnitt: Reelle und komplexe Zahlen

 Das Buch beginnt mit einer Betrachtung der irrationalen Zahlen und der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Wir motivieren anhand der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoreer und der Entdeckung der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch Georg Cantor im 19. Jahrhundert, warum die Analysis auf dem aufwendigen Fundament der reellen Zahlen aufgebaut wird. Danach untersuchen wir die algebraischen und ordnungstheoretischen Eigenschaften von ℝ und fassen die „üblichen Rechengesetze“ in den Axiomen eines angeordneten Körpers zusammen. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen formulieren wir mit Hilfe von kleinsten oberen bzw. unteren Schranken.

 Der Rest des Abschnitts ist den komplexen Zahlen ℂ gewidmet. Obwohl wir vorrangig an den reellen Zahlen interessiert sind, werden wir auf die komplexen Zahlen immer wieder zurückkommen, und bei der Einführung der trigonometrischen Funktionen sind sie unverzichtbar. Mit den neuen Zahlen werden wir durch das Lösen algebraischer Gleichungen vertraut, und in den Ergänzungen beweisen wir die geometrische Multiplikationsregel für komplexe Zahlen mit elementarer geometrischer Argumentation. Dadurch gewinnt ℂ an Anschauung und Sympathie.

Zweiter Abschnitt: Folgen und Reihen

 Der Grenzwertbegriff für Folgen x₀, x₁, …, x_n, … in ℝ oder ℂ ist Grundlage für alles Weitere. Wir bereiten den allgemeinen Begriff vor, indem wir zunächst Grenzwerte für die anschaulichen monotonen und hin und her pendelnden Folgen definieren. Danach untersuchen wir Teilfolgen und Häufungspunkte und lernen im Satz von Bolzano-Weierstraß einen ersten „großen Satz mit Namen“ kennen. Schließlich besprechen wir Cauchy-Folgen, die eine alternative Formulierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen ermöglichen.

 Die unendlichen Reihen x₀ + x₁ + … + x_n + … bilden das zweite Thema des Abschnitts. Die geometrische Reihe tritt auf und wird fortan immer wieder die Entwicklung der Theorie erleichtern. Wir besprechen die harmonische Reihe, die klassischen Konvergenzkriterien, die Abelsche Summation sowie Umordnungen und Produkte von Reihen. Der Leitidee, Abstraktes und Konkretes abwechselnd zu behandeln, folgen wir dann mit der Einführung der reellen und komplexen Exponentialreihe und den zugehörigen Funktionen.

Dritter Abschnitt: Stetige Funktionen

 Der Stetigkeitsbegriff gehört zu den wichtigsten Begriffen der Mathematik überhaupt. Wir besprechen die Limesstetigkeit, Umgebungsstetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und die Lipschitz-Stetigkeit. Danach beweisen wir den Zwischenwertsatz von Bolzano-Cauchy, den Extremwertsatz von Weierstraß und den Satz von Heine über die gleichmäßige Stetigkeit. Nach diesen abstrakten Untersuchungen stehen die Grundfunktionen der Analysis im Mittelpunkt: Exponentialfunktionen und Logarithmen, Potenzen, trigonometrische Funktionen, Arkusfunktionen, Hyperbelfunktionen. Alle Funktionen werden mit Hilfe der reellen und komplexen Exponentialfunktion definiert. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Kreisaufwicklung der komplexen Exponentialfunktion. Kosinus und Sinus haben per definitionem einen geometrischen Gehalt, den wir durch den Nachweis der Gleichheit der analytischen und der geometrischen Kreiszahl π restlos klären.

 Der Abschnitt schließt mit einer Einführung in die Welt der konvergenten Funktionenfolgen. Wir beweisen den Konvergenzsatz von Weierstraß, der später bei der Untersuchung von Potenzreihen unentbehrlich sein wird. Weiter lernen wir einen der beeindruckendsten Sätze der Analysis kennen: den Satz von Weierstraß über die Approximation einer stetigen Funktion durch Bernstein-Polynome.

Vierter Abschnitt: Differenzieren

 Dieser Abschnitt bildet das Herzstück des Buches. Wir führen die Ableitung als Differentialquotient ein, betonen aber von Anfang an die Sichtweise, eine Funktion lokal als „Tangente plus kleiner Rest“ aufzufassen − alle Ableitungsregeln werden zum Beispiel so bewiesen. Danach stehen der Mittelwertsatz von Lagrange und seine Anwendungen im Zentrum. Wir zeigen, dass eine Ableitung Intervalle in Intervalle überführt, charakterisieren die Exponentialfunktion über ihre Differentialgleichung und beweisen die Regeln von l’Hospital. Ebenfalls mit Hilfe des Mittelwertsatzes weisen wir den engen Zusammenhang zwischen Monotonie und Vorzeichen der Ableitung nach. Ausführlich besprechen wir notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extremwerte. Danach diskutieren wir das Krümmungsverhalten einer Funktion, Krümmungskreise, Schmiegeparabeln und das Newton-Verfahren zur numerischen Berechnung von Nullstellen. Die Tangenten und Schmiegeparabeln verfeinern wir zu den Taylor-Polynomen. Mit Hilfe der Regeln von l’Hospital geben wir einen einfachen Beweis des Satzes von Peano, der die lokale Sicht als „Polynom plus kleiner Rest“ rechtfertigt. Danach beweisen wir den Satz von Taylor mit Lagrangeschem Restglied. Unendliche Taylor-Reihen und Darstellungsfragen leiten in das letzte Kapitel über, in dem wir uns mit Potenzreihen und ihrer Konvergenz befassen. Der Satz über das gliedweise Differenzieren liefert eine endgültige Motivation der Exponentialreihe und weiter Reihenentwicklungen für den Logarithmus und Arkustangens, die im Verbund mit dem Abelschen Grenzwertsatz die berühmten Reihen für log(2) und π/4 beinhalten.