E10
Zur Bedeutung der Ableitung

Ergänzungsübung 1

Definieren Sie die Begriffe „f ist linksseitig differenzierbar in p“ und „f ist rechtsseitig differenzierbar in p“. Diskutieren Sie Beispiele für diese Begriffe, und geben Sie insbesondere eine stetige Funktion f an, die in einem Punkt p weder linksseitig noch rechtsseitig differenzierbar ist.

Ergänzungsübung 2

Erklären Sie einem Schüler die physikalische Bedeutung von f ′ als Geschwindigkeit und von f ″ als Beschleunigung.

Ergänzungsübung 3

Diskutieren Sie mit Hilfe von aussagekräftigen Diagrammen die anschauliche Bedeutung von

(a)

„der Wertebereich von f ′ ist ein kleines Intervall [ a, a + ε ]“,

(b)

„der Wertebereich von f ″ ist ein kleines Intervall [ a, a + ε ]“,

(c)

„f ′ besitzt eine Nullstelle“, 

„f ′ ändert einmal das Vorzeichen“,

(d)

„f ′ besitzt viele Nullstellen“, 

„f ′ ändert oft das Vorzeichen“,

(e)

„f ″ besitzt eine Nullstelle“, 

„f ″ ändert einmal das Vorzeichen“.

Ergänzungsübung 4

Die erste Ableitung f ′ beschreibt die Steigung von f und die zweite Ableitung die Krümmung von f. Versuchen Sie, die anschauliche Bedeutung der dritten Ableitung f′′′ zu beschreiben, und illustrieren Sie Ihre Erklärung durch Diagramme.

Ergänzungsübung 5

Formulieren und beweisen Sie eine Kettenregel für h ∘ g ∘ f.

Ergänzungsübung 6

Erklären Sie die Form „f ′ g + g′ f“ der Produktregel durch Linearisierung von f und g.

Ergänzungsübung 7

Die von Leibniz eingeführte df/dx-Notation lässt sich oft zum heuristischen Auffinden oder zur suggestiven Darstellung von Ergebnissen der Differentialrechnung verwenden, indem man df und dx als infinitesimal kleine Größen betrachtet. Können Sie zum Beispiel die Linearisierung einer Funktion f in einem Punkt p, die Linearität der Ableitung, die Produkt- und die Kettenregel mit Hilfe dieser Notation formulieren bzw. begründen?