E12
Taylor-Entwicklungen
Wir beginnen mit der folgenden typischen Fragestellung:
Welches Polynom dritten Grades ist eine gute
Approximation für den Tangens im Nullpunkt?
Ergänzungsübung 1
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom T30 tan und notieren Sie die Güte dieser Approximation an den Tangens.
Als Nächstes betrachten wir ein Beispiel für die Verkettung zweier Funktionen:
Ergänzungsübung 2
Sei f : ] −π/2, π/2 [ → ℝ definiert durch
f (x) = log(cos(x)) für alle x ∈ ] −π/2, π/2 [.
(a) | Skizzieren Sie die Funktion f. |
(b) | Bestimmen Sie das Taylor-Polynom T60 f. |
[ zu (b): Entweder durch Ableiten oder durch Taylor-Entwicklung von cos(x) und log(1 + x). ]
Wir betrachten nun unendliche Reihenentwicklungen. Die Logarithmus-Reihe hatten wir mit Hilfe des Satzes über gliedweises Differenzieren gefunden:
log(1 + x) = ∑n ≥ 1 (−1)n − 1 xnn für alle x ∈ ] − 1, 1 [.
Mit dem Abelschen Grenzwertsatz konnten wir zudem zeigen, dass diese Reihendarstellung von log(1 + x) auch noch im Punkt 1 gültig ist. Dagegen divergiert die Reihe in allen anderen Punkten. Insgesamt erhalten wir also die folgende Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt 1:
(+) log(x) = ∑n ≥ 1 (−1)n − 1 (x − 1)nn, mit dem Konvergenzbereich ] 0, 2 ].
Aufgrund der Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung ist klar, dass die mit Hilfe der Ableitungen berechnete Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt 1 die Reihe in (+) reproduzieren wird. Es ist aber dennoch instruktiv, diese Berechnung durchzuführen:
Ergänzungsübung 3
(a) | Bestimmen Sie die Ableitungen log(n) für alle n ∈ ℕ. |
(b) | Bestimmen Sie mit Hilfe der Ableitungen log(n) die Taylor-Reihe T1 log. |
(c) | Bestimmen Sie mit Hilfe der Ableitungen log(n) allgemeiner die Taylor-Reihe Tp log für einen beliebigen Entwicklungspunkt p > 0. |
Umgekehrt müssen wir die Ableitungen des natürlichen Logarithmus gar nicht kennen, um die Taylor-Entwicklungen in (c) angeben zu können:
Ergänzungsübung 4
Sei p > 0. Bestimmen Sie die Taylor-Reihe Tp log, indem Sie die Logarithmus-Reihe
log (1 + x) = ∑n ≥ 1 (−1)n − 1 xnn
und „log(a b) = log(a) + log(b)“ verwenden. Zeigen Sie weiter, dass der Konvergenzbereich der Potenzreihe Tp log das Intervall ] 0, 2 p ] ist.
Wir bestimmen nun noch die Taylor-Entwicklungen einiger weiterer elementarer Funktionen, und wir zeigen, dass diese Taylor-Reihen mit den Funktionen übereinstimmen, d. h. Potenzreihendarstellungen dieser Funktionen sind.
Ergänzungsübung 5
Sei a > 0. Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung T0 expa und zeigen Sie, dass T0 expa (x) = expa(x) für alle x ∈ ℝ.
Unter Verwendung der Ableitungen sinh′ = cosh und cosh′ = sinh ist die Taylor-Analyse des Sinus und Kosinus Hyperbolicus ebenfalls leicht durchzuführen:
Ergänzungsübung 6
Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklungen T0 sinh und T0 cosh und zeigen Sie, dass T0 sinh (x) = sinh(x) und T0 cosh (x) = cosh(x) für alle x ∈ ℝ.
Allgemeiner ist für Funktionen wie exp, sin, cos, sinh, cosh, deren Ableitungen nach endlich vielen Schritten die Ausgangsfunktion reproduzieren, die Taylor-Entwicklung stets global erfolgreich:
Ergänzungsübung 7
Sei f : ℝ → ℝ eine glatte Funktion, und es gebe ein n* ≥ 1 mit f (n*) = f.
Zeigen Sie, dass für jeden Entwicklungspunkt p ∈ ℝ gilt:
Tp f (x) = f (x) für alle x ∈ ℝ.