E6
Untersuchung spezieller Reihen
Wir betrachten die folgende Reihe:
∑n n2n = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + …
Ergänzungsübung 1
Beweisen Sie, dass diese Reihe konvergiert. Berechnen Sie weiter einige Partialsummen und vermuten Sie, welchen Wert die Reihe besitzt.
Die Reihe ∑n n/2n wurde bereits im Mittelalter von Nicolaus von Oresme studiert. Oresme konnte durch ein „geometrisches Umordnungsargument“ die Summe dieser Reihe bestimmen. Die folgende Übung lässt sich als Variante seiner Argumentation ansehen.
Ergänzungsübung 2
(a) | Ordnen Sie die Zahlen 1/2, 1/4, 1/4, 1/8, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, … in einem (ℕ × ℕ)-Schema so an, dass Sie die zeilenweisen Summen und weiter die Summe der zeilenweisen Summen des Schemas bestimmen können. Diskutieren Sie den Zusammenhang Ihres Schemas mit der Reihe ∑n n/2n. |
(b) | Geben Sie einen strengen Beweis für Ihre Berechnung von ∑n n/2n, indem Sie Ihr Schema gegebenenfalls noch derart modifizieren, dass Sie ∑n n/2n als Cauchy-Produkt zweier absolut konvergenter Reihen erkennen können. |
[ Der Leser vergleiche auch den Ausblick zu Doppelsummen (xn, m)n, m ∈ ℕ oben. Die dortigen Summationssätze müssen wir nicht bemühen, wenn wir wie in (b) argumentieren. ]
Die Idee lässt sich nun spielerisch weiter variieren:
Ergänzungsübung 3
Bestimmen Sie ∑n n + 13n = 1 + 23 + 39 + 427 + …
Ergänzungsübung 4
Bestimmen Sie ∑n 2n + 1 − 14n = 1 + 34 + 716 + 1564 + …