E7
Visualisierungen stetiger Funktionen, I
Das Thema der folgenden Übungen ist die Diskussion und Illustration des Funktionsbegriffs und der Stetigkeitseigenschaften einer Funktion. Dabei spielen graphische Darstellungen von Funktionen eine wichtige Rolle.
Ergänzungsübung 1
Diskutieren Sie mit Hilfe von Diagrammen, wie aus dem Graphen einer Funktion f : P → ℝ die Graphen der folgenden Funktionen hervorgehen:
(a) | f1(x) = f(x − c) + d | für alle x ∈ P und gewisse c, d ∈ ℝ, |
(b) | f2(x) = f (c x) | für alle x ∈ P und ein gewisses c ∈ ℝ, |
(c) | f3(x) = c f (x) | für alle x ∈ P und ein gewisses c ∈ ℝ, |
(d) | f4(x) = |f (x)| | für alle x ∈ P, |
(e) | f5(x) = f −1(x) | für alle x ∈ P, falls f injektiv ist. |
Geben Sie jeweils die Definitions- und Wertebereiche von f1, …, f5 an, in Abhängigkeit vom Definitionsbereich P und Wertebereich W von f.
Ergänzungsübung 2
Diskutieren Sie Beispiele aus dem Alltag oder den Naturwissenschaften, die (idealisiert) zu stetigen Funktionen Anlass geben. Welche Beispiele haben besonders viele Knicke und welche nicht? Überprüfen Sie die Anschauungen des „Nichtspringens“ und der „kleinen Änderung“ an Ihren Beispielen.
Ergänzungsübung 3
Beantworten Sie folgende Frage eines Schülers der 11. Klasse:
„Bedeutet die Stetigkeit einer Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ, dass man den Graphen von f ohne abzusetzen zeichnen kann, wobei Knicke erlaubt sind?“
Ergänzungsübung 4
Zeichnen Sie und diskutieren Sie Diagramme zur Visualisierung der Limesstetigkeit, der Umgebungsstetigkeit und der gleichmäßigen Stetigkeit. Achten Sie dabei auf Details (etwa: Wo genau darf der Graph von f durch ε und δ definierte Rechtecke verlassen und wo nicht?) und versuchen Sie, möglichst anschauliche Beschreibungen der abstrakten Begriffe zu finden (zum Beispiel „Wenn wir ein Rechteck entlang der x-Achse verschieben …“.) Machen Sie für die Umgebungsstetigkeit immer die Abhängigkeiten zwischen ε, δ und den Punkten des Definitionsbereichs deutlich.
Ergänzungsübung 5
Sei f : P → ℝ eine Funktion, und sei p ∈ P. Definieren Sie
„f ist linksseitig stetig im Punkt p“ und „f ist rechtsseitig stetig im Punkt p“
mit Hilfe von Folgen und Umgebungen. Diskutieren Sie diese Begriffe und untersuchen Sie ihren Zusammenhang mit der Stetigkeit von f in p.
Ergänzungsübung 6
Sei f : P → ℝ eine Funktion, und sei p ∈ P. Definieren Sie eine lokale Version der Lipschitz-Stetigkeit:
„f ist Lipschitz-stetig im Punkt p, falls …“.
Formulieren Sie die globale mit Hilfe der lokalen Version.
Ergänzungsübung 7
Begründen Sie mit Hilfe eines Diagramms, warum die Lipschitz-Stetigkeit die gleichmäßige Stetigkeit impliziert.
Ergänzungsübung 8
Erklären Sie mit Hilfe von Diagrammen:
(a) | warum f : ] 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = 1/x nicht gleichmäßig stetig ist, |
(b) | warum g : [ 0, 1 ] → ℝ mit g(x) = nicht Lipschitz-stetig ist. |
Ergänzungsübung 9
Sei f : P → ℝ Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten L. Was können Sie über die Lipschitz-Stetigkeit der Funktionen f1, …, f5 der ersten Übung sagen? Zeichnen Sie wieder Diagramme zur Illustration.
Ergänzungsübung 10
Zeichnen Sie Diagramme zur Visualisierung der stetigen Fortsetzbarkeit oder Nichtfortsetzbarkeit einer Funktion f : P → ℝ in einem Punkt p* ∉ P. Betrachten Sie dabei verschiedene Fälle der Lage von p* zu P.
Ergänzungsübung 11
Definieren und erläutern Sie in Analogie zum eindimensionalen Fall, was die Stetigkeit einer Funktion f : ℝn → ℝm in einem Punkt p ∈ ℝn bedeutet, für beliebige natürliche Zahlen n, m ≥ 1. Diskutieren Sie Beispiele für stetige Operationen in der Ebene ℝ2 und im Raum ℝ3, etwa Bewegungen oder Verformungen eines Kreises oder einer Kugel.
Ergänzungsübung 12
Sei f : P → ℝ eine injektive Funktion. Illustrieren Sie mit Hilfe von Diagrammen den Zusammenhang zwischen Definitionslücken von f und Unstetigkeitsstellen der Umkehrfunktion f −1.