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Visualisierungen stetiger Funktionen, II
Ergänzungsübung 1
Konstruieren Sie ausgehend von der Identität f0 auf [ −1, 1 ] mit Hilfe der Betragsfunktion rekursiv Funktionen f1, f2, …, fn, … auf [ −1, 1 ], die eine immer dichtere stückweise lineare Zick-Zack-Bewegung zwischen den Werten 1 und 0 beschreiben. Skizzieren Sie die Funktionen fn. Geben Sie weiter eine explizite Darstellung der Funktionen fn.
[ Hinweis: Definieren Sie fn + 1(x) = a |fn(x) − b| für geeignete a, b. ]
Ergänzungsübung 2
Illustrieren Sie mit Hilfe von Diagrammen:
(a) | die Aussage und den Beweis des Nullstellensatzes, |
(b) | einen alternativen Beweis des Nullstellensatzes mit Hilfe von Intervallhalbierung, |
(c) | den Beweis des Zwischenwertsatzes mit Hilfe des Nullstellensatzes, |
(d) | den Beweis des Fixpunktsatzes mit Hilfe des Nullstellensatzes, |
(e) | die Aussage und den Beweis des Extremwertsatzes von Weierstraß, |
(f) | die Aussage des Intervallsatzes, |
(g) | die Aussage und den Beweis des Satzes von Heine über gleichmäßige Stetigkeit. |
Ergänzungsübung 3
Zeichnen Sie Funktionsdiagramme, die zeigen, dass der Extremwertsatz und der Satz von Heine für stetige Funktionen auf Intervallen der Form ] a, b [ und [ a, ∞ [ nicht mehr allgemein gelten.
Ergänzungsübung 4
Zeichnen Sie jeweils eine unstetige Funktion f : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ], die
(a) | ihr Maximum nicht annimmt, |
(b) | weder ihr Maximum noch ihr Minimum annimmt. |
Genügt eine eindeutige einfache Sprungstelle für diese Verletzung des Extremwertsatzes? Genügt eine eindeutige Unstetigkeitsstelle zweiter Art?
Ergänzungsübung 5
Geben Sie anschauliche Beispiele für die Aussage des Fixpunktsatzes.
Ergänzungsübung 6
Formulieren Sie eine Bedingung für stetige f, g : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ], sodass für alle f, g, die diese Bedingung erfüllen, ein p existiert mit f (p) = g(p). Illustrieren Sie Ihre Bedingung durch Skizzen.
Ergänzungsübung 7
Diskutieren Sie anhand von Diagrammen den Zusammenhang zwischen Injektivität und Monotonie für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen.
Ergänzungsübung 8
Diskutieren Sie graphische Beispiele für punktweise konvergente Funktionenfolgen auf [ 0, 1 ] und ] 0, 1 [. Geben Sie insbesondere punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen auf ] 0, 1 [ an.
Ergänzungsübung 9
Diskutieren Sie nun graphische Beispiele für punktweise und gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen auf dem unbeschränkten Intervall [ 0, ∞ [. Vergleichen Sie Ihre Beispiele mit denen der vorangehenden Übung.
Ergänzungsübung 10
Bestimmen und zeichnen Sie einige Bernstein-Polynome für die Funktionen f, g : [ 0, 1 ] → ℝ mit
f (x) = |x − 1/2| für alle x ∈ [ 0, 1 ],
g(x) = ||x − 1/2| − 1/2| für alle x ∈ [ 0, 1 ].
Ergänzungsübung 11
Gilt der Approximationssatz von Weierstraß-Bernstein auch für stetige Funktionen auf Intervallen ] a, b [ oder [ a, ∞ [? Begründen Sie ihre Antwort.
Ergänzungsübung 12
Recherchieren Sie die Geschichte und Wirkung des Approximationssatzes von Weierstraß-Bernstein bis hin zu den Bézier-Kurven und ihren Anwendungen.