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Die elementaren Funktionen in Natur und Geometrie

Ergänzungsübung 1

Jakob Bernoulli hat Ende des 17. Jahrhunderts das Problem der stetigen Verzinsung formuliert:

„Eine Summe Geldes sei auf Zinsen angelegt, dass in den einzelnen Augenblicken ein proportionaler Teil der Jahreszinsen zum Kapital geschlagen wird.“

Motivieren und diskutieren Sie die Limesdarstellung der Exponentialfunktion als mathematisches Modell einer stetigen Verzinsung.

Ergänzungsübung 2

Zeigen Sie mit elementaren Methoden, dass lim_n (1 + 1/n)ⁿ existiert. Betrachten Sie hierzu die Folgen (x_n)_n ≥ 1 und (y_n)_n ≥ 1 mit

x_n = (1 + 1/n)ⁿ,  y_n = (1 + 1/n)^n + 1  für alle n ≥ 1.

Ergänzungsübung 3

Eine „Größe“ oder ein „Bestand“ habe das folgende Wachstums- oder Abnahmeverhalten:

„Zu jedem Zeitpunkt nehmen alle Bestandteile der aktuellen Größe unabhängig voneinander zu oder ab, und diese Zu- oder Abnahme ist zeitunabhängig.“

Modellieren Sie einen derartigen Prozess und formulieren Sie die charakteristischen mathematischen Eigenschaften. Geben Sie weiter Beispiele für derartige Entwicklungsprozesse.

Ergänzungsübung 4

Eine Logarithmentafel zur Basis a ist eine Tabelle mit Approximationen an Werte log_a(x) für gewisse reelle Zahlen x. Diskutieren Sie, wie sich Logarithmentafeln zur Berechnung von Produkten x · y, Quotienten x/y, Potenzen x^y und Wurzeln ^m$\sqrt{\mathrm{x}}$ verwenden lassen.

Ergänzungsübung 5

Begründen Sie, warum in der Mathematik Winkel gegen und nicht im Uhrzeigersinn gemessen werden.

Ergänzungsübung 6

Identifizieren Sie den Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans des Winkels φ in den folgenden Figuren. Der dargestellte Kreis ist dabei der Einheitskreis.