1.1 Das Riemann-Integral

Übung 1

Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = x2 für alle x  ∈  [ 0, 1 ]. Berechnen Sie jeweils die Riemann-Summen ∑p0 f, …, ∑p4 f für die äquidistanten Partitionen p0, …, p3 von [ 0, 1 ] der Längen 1, …, 4 mit

(a)

linksseitigen

(b)

mittigen

(c)

rechtsseitigen

Stützstellen. (Die zwölf berechneten Werte können Sie in Form einer Tabelle angeben.) Welcher Summen-Typ approximiert den Wert 1/3 des zugehörigen Integrals am besten (gemessen an der Länge der Partition)? Wie lässt sich dies erklären?

Übung 2

Zeigen Sie, dass das Integral c einer Funktion f : [ a, b ] → ℝ im Fall der Existenz eindeutig bestimmt ist.

Übung 3

Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar. Zeigen Sie, dass f beschränkt ist.

Übung 4

Geben Sie einen ausführlichen, auf der Definition der Integrierbarkeit beruhenden Beweis für die Integrierbarkeit der Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ mit

f (x)  =  0,  falls  0  ≤  x  <  1/2,  f (x)  =  1,  falls  1/2  ≤  x  ≤  1

Übung 5

Sei b ≥ 0. Zeigen Sie durch Berechnung von Riemann-Summen und Grenzwertbildung: 

(a)

∫b0 x  dx  =  b22

(b)

∫b0 x2 dx  =  b33

Dabei können Sie sich auf äquidistante Partitionen beschränken.

Übung 6

Beweisen Sie die Monotonie, Einschränkung und Aufspaltung im Satz über die elementaren Eigenschaften des Integrals.

Übung 7

Beweisen Sie die Monotonie des Integrals mit Hilfe der Linearität und der folgenden Positivitäts-Eigenschaft:

∫baf (x) dx  ≥  0,  falls f  ≥  0.

Übung 8

Seien a, b, c  ∈  ℝ und sei f : [ min(a, b, c), max(a, b, c) ] → ℝ integrierbar.

Zeigen Sie die folgende Verallgemeinerung der Aufspaltungseigenschaft:

∫baf (x) dx  =  ∫caf (x) dx  +  ∫bcf (x) dx.

Übung 9

Für f, g : [ a, b ] → ℝ definieren wir:

f  ∼  g,  falls  { x  ∈  [ a, b ] | f (x) ≠ g(x) } ist endlich.

Zeigen Sie:

(a)

∼ ist eine Äquivalenzrelation auf M = { f | f : [ a, b ] → ℝ }.

(b)

Ist f integrierbar und g ∼ f, so ist auch g integrierbar und I(f) = I(g).

Übung 10

Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar. Weiter sei (cn)n  ∈  ℕ eine streng monoton steigende Folge in [ a, b ], und es sei g : [ a, b ] → ℝ eine Funktion mit

{ x  ∈  [ a, b ] | g(x) ≠ f (x) }  ⊆  { cn | n  ∈  ℕ }.

Zeigen Sie, dass g integrierbar ist, und dass I(g) = I(f).

Übung 11

Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar. Zeigen Sie:

limc ↑ b ∫caf (x) dx  =  ∫baf (x) dx.