1.3 Integrierbare Funktionen

Übung 1

Zeigen Sie, dass die Treppenfunktionen auf [ a, b ] genau die Funktionen der Form ∑_k ≤ n c_k 1_{A_k} mit Intervallen A_k sind.

Übung 2

Seien f und g Treppenfunktionen auf [ a, b ] und sei c  ∈  ℝ. Zeigen Sie, dass c f, f + g und f · g Treppenfunktionen auf [ a, b ] sind.

Übung 3

Sei c  ∈  ℝ, und sei f : [ 0, 1 ] → ℝ definiert durch f (x) = c x für alle x  ∈  [ 0, 1 ]. Zeigen Sie durch eine explizite Konstruktion, dass sich f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt.

Übung 4

Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar, und sei (p_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge von stützstellenfreien Partitionen von [ a, b ] mit lim_n δ(p_n) = 0. Für alle n sei p_n + 1 eine Verfeinerung von p_n, d. h., jeder Zerlegungspunkt von p_n ist auch ein Zerlegungspunkt von p_n + 1. Für alle n seien g_n = f^s_{p_n} und h_n = f^S_{p_n} die unteren bzw. oberen Darboux-Summe von f bzgl. p_n zugeordneten Treppenfunktionen. Zeigen Sie:

(a)	(g_n)_{n  ∈  ℕ} ist monoton wachsend und (h_n)_{n  ∈  ℕ} monoton fallend,

(b)	g ≤ f ≤ h, wobei g = lim_n g_n und h = lim_n h_n,

(c)	g und h sind integrierbar mit I(g) = I(f) = I(h),

(d)	{ x  ∈  [ a, b ] \| g(x) = f (x) = h(x) } = { x  ∈  [ a, b ] \| f ist stetig in x } ∪ T, wobei T = { t  ∈  [ a, b ] \| t ist ein Zerlegungspunkt eines p_n } ∪ { b }.

Übung 5

Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Dann definieren wir f_o und f_u auf [ a, b ] durch:

f_o(x) = inf_ε > 0 sup_{y  ∈  [ x − ε, x + ε ]} f (y),

f_u(x) = sup_ε > 0 inf_{y  ∈  [ x − ε, x + ε ]} f (y).

Vergleichen Sie f_o und f_u mit den in der vorangehenden Übung konstruierten Funktionen g und h. Wann gilt f_u(x) = f (x) = f_o(x)?

Übung 6

Sei f : [ a, b ] → ℝ stetig. Zeigen Sie unter Verwendung von Riemann-Summen, dass f integrierbar ist.

[ Betrachten Sie eine Folge (p_n)_{n  ∈  ℕ} von Partitionen, deren Feinheit gegen Null konvergiert. Zeigen Sie, dass die zugehörigen Riemann-Summen gegen ein c  ∈  ℝ konvergieren. Weisen Sie nun die Integrierbarkeitsbedingung für c nach. ]

Übung 7

Sei b ≥ 1. Zeigen Sie mit Hilfe von Riemann-Summen:

∫^b₁¹_x dx = log(b).

[ Die Funktion f : [ 1, b ] → ℝ mit f (x) = 1/x für alle x  ∈  [ 1, b ] ist stetig und damit integrierbar. Also ist jede Partitionsfolge (p_n)_{n  ∈  ℕ} mit gegen Null konvergierenden Feinheiten zur Berechnung des Integrals geeignet. Betrachten Sie zur Konstruktion einer solchen Folge Zerlegungspunkte und Stützstellen der Form b^k/(n + 1). Berechnen Sie die zugehörigen Riemann-Summen und interpretieren Sie sie als Differenzenquotienten. ]

Übung 8

Seien a < b und f : [ a, b ] → [ 0, ∞ [ stetig mit I(f) = 0. Zeigen Sie, dass f (x) = 0 für alle x  ∈  [ a, b ] gilt.

Übung 9

Sei f : [ a, b ] → [ 0, ∞ [ integrierbar mit I(f) = 0. Weiter sei c > 0 und

A = { x  ∈  [ a, b ] | f (x) ≥ c }.

Zeigen Sie, dass für alle ε > 0 Intervalle [ c₁, d₁ ], …, [ c_n, d_n ] existieren mit

(a)	A ⊆ [ c₁, d₁ ] ∪ … ∪ [ c_n, d_n ],

(b)	∑_k ≤ n (d_k − c_k) < ε.

Übung 10

Sei f : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] definiert durch

$f (x) = { \begin{matrix} 1 / n & falls x \in ℚ, x = m / n, gekürzt, \\ 0 & falls x irrational. \end{matrix}$

In welchen Punkten ist f stetig ? Ist f integrierbar ?

Übung 11

Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Die Menge

E = { x  ∈  [ a, b ] | f ist unstetig in x }

sei endlich. Zeigen Sie, dass f integrierbar ist.

Übung 12

Zeigen Sie allgemeiner als die vorangehende Übung: Ist f : [ a, b ] → ℝ beschränkt und die Menge E der Unstetigkeitsstellen von f abzählbar, so ist f integrierbar.

Übung 13

Zeigen Sie, dass es eine stetige (oder stärker sogar differenzierbare) Funktion auf [ 0, 1 ] gibt mit bv(f) = ∞.

Übung 14

Zeigen Sie, dass für alle f, g : [ a, b ] → ℝ und alle c  ∈  ℝ und x  ∈  [ a, b ] gilt:

(a)	var(cf) = \|c\| var(f), speziell var(f) = var(− f),

(b)	var(f + g) ≤ var(f) + var(g), var(f + c) = var(f),

(c)	var(f) ≥ \|f (b) − f (a)\|, mit Gleichheit, falls f monoton,

(d)	var(f) = 0 genau dann, wenn f ist konstant,

(e)	var(f) = var(f\|[ a, x ]) + var(f\|[ x, b ]),

(f)	var_f : [ a, b ] → ℝ ist monoton steigend, var_f(a) = 0, var_f(b) = var(f).

Übung 15

Finden Sie Bedingungen, unter denen var(f + g) = var(f) + var(g) gilt.

Übung 16

Betrachten Sie für eine bv-Funktion f : [ a, b ] → ℝ die Darstellung f = g − h mit g = var_f und h = (var_f − f). Welche Eigenschaften hat diese Darstellung? Berechnen Sie var(g) + var(h). Vergleichen Sie die Darstellung mit der Jordan-Zerlegung von f.

Übung 17

Sei f = g − h die Jordan-Zerlegung einer bv-Funktion f : [ a, b ] → ℝ. Zeigen Sie, dass

g = var⁺_f + f (a)/2, h = var⁻_f − f (a)/2.

Übung 18

Beweisen Sie den Charakterisierungssatz für Regelfunktionen.

Übung 19

Zeigen Sie, dass es eine Regelfunktion f : [ 0, 1 ] → ℝ gibt, die weder stückweise stetig noch monoton ist.

Übung 20

Zeigen Sie, dass die bei der Diskussion der Regelfunktionen betrachtete Zackenfunktion f : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] Riemann-integrierbar, aber keine Regelfunktion ist.

Übung 21

Zeigen Sie, dass es eine integrierbare Funktion f : [ 0, 1 ] → { 0, 1 } mit I(f) = 0 gibt, die keine Regelfunktion ist.

Übung 22

Zeigen Sie, dass das Regelintegral wohldefiniert ist.

Übung 23

Geben Sie integrierbare Funktionen f, g : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] an derart, dass g ∘ f nicht integrierbar ist.

Übung 24

Sei f : [ a, b ] → [ c, d ] integrierbar und g : [ c, d ] → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass g ∘ f integrierbar ist.

Übung 25

Sei f : [ a, b ] → ℝ. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	f ist integrierbar.

(b)	f ⁺ und f ⁻ sind integrierbar.

Zeigen Sie weiter, dass dann I(f) = I(f ⁺) − I(f ⁻).

Übung 26

Sei A ⊆ [ 0, 1 ] derart, dass jedes Intervall in [ 0, 1 ] positiver Länge sowohl Punkte von A als auch von B = [ 0, 1 ] − A enthält. Zeigen Sie, dass 1_A nicht integrierbar ist.

Übung 27

Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Zeigen oder widerlegen Sie:

(a)	Ist f ² integrierbar, so ist f integrierbar.

(b)	Ist f ³ integrierbar, so ist f integrierbar.

Übung 28

Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar, und sei (f_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge integrierbarer Funktionen auf [ a, b ], die punktweise monoton steigend gegen f konvergiert. Zeigen Sie, dass lim_n I(f_n) = I(f).