1.6 Uneigentliche Integrale

Übung 1

Geben Sie ein f : [ 1, ∞ [ → ℝ an mit den beiden Eigenschaften:

Erstellen Sie ein Diagramm und begründen Sie kurz, dass die Eigenschaften (i) und (ii) gelten.

Bemerkung: Alternativ können Sie auch das Intervall [ 0, ∞ [ oder ein anderes unbeschränktes Intervall als Definitionsbereich verwenden.

Übung 2

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch f (x) = 1/(1 + x²) für alle x. Berechnen Sie

I(f|[ − a, a ])  =  ∫^a_−a f  für alle a ≥ 0.

Zeigen Sie weiter, dass I(f) existiert und berechnen Sie es.

Übung 3

Sei f : ℝ → ℝ uneigentlich integrierbar. Zeigen Sie:

(+)  I(f)  =  lim_n → ∞ I(f|[ − n, n ]).

Zeigen Sie weiter, dass die Gültigkeit von (+) im Allgemeinen nicht die uneigentliche Integrierbarkeit von f impliziert.

Übung 4

Geben Sie ein uneigentlich integrierbares f : [ 0, 1 [ → ℝ mit I(f) = 0 an derart, dass I(f ⁺) = I(f ⁻) = ∞.

Übung 5

Geben Sie ein uneigentlich integrierbares f : [ 0, 1 ] → [ 0, ∞ [ an derart, dass f ² nicht uneigentlich integrierbar ist.

Übung 6

Definieren Sie eine Erweiterung des uneigentlichen Integrals, das auch gewisse Funktionen f : [ a, b ] → ℝ integrieren kann, die nicht auf allen kompakten Teilintervallen ihres Definitionsbereichs beschränkt sind.

Übung 7

Beweisen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe

∑_n ≥ 2 ¹_{n log(n)}

mit Hilfe des Integralvergleichskriteriums. Erstellen Sie ein Diagramm, das die beteiligten Funktionen im Vergleich zu 1/x und log(x) zeigt.

Übung 8

Schätzen Sie ∑_n ≥ 1 1/n² − ∑_{1 ≤ k ≤ 10³} 1/k² mit Hilfe des Integralvergleichskriteriums ab.