2.3 Metrische Räume
Übung 1
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für alle x, y, z, u, v ∈ X gilt:
(a) | |d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y),(umgekehrte Dreiecksungleichung) |
(b) | |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v).(Vierecksungleichung) |
Übung 2
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für alle x, y ∈ X seien
d1(x, y) = min(1, d(x, y)), d2(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y).
(a) | Zeigen Sie, dass d1 und d2 Metriken auf X sind. |
(b) | Skizzieren Sie für X = ℝ2 und Udε(0) = { x ∈ X | d(x, 0) < ε } die Mengen Ud11/2(0), Ud22(0), Ud21/2(0), Ud23/4(0). |
Übung 3
Sei f : ℝ → ℝ streng monoton steigend. Für alle x, y ∈ ℝ setzen wir
d(x, y) = |f (x) − f (y)|.
Zeigen Sie, dass (X, d) ein metrischer Raum ist. Welche Eigenschaften gelten und welche sind verletzt, wenn f monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend ist ?
Übung 4
Seien V = ℂn und p ≥ 1. Zeigen Sie mit Hilfe der Hölder-Ungleichung die Dreiecksungleichung für die p-Norm auf V.
Übung 5
Zeigen Sie, dass für alle p, q, r ∈ [ 1, ∞ ] gilt:
(a) | ∥ A ∥p, q = sup { ∥ Ax ∥q | ∥ x ∥p = 1 } = sup { ∥ Ax ∥q∥ x ∥p | x ≠ 0 }, |
(b) | ∥ A x ∥q ≤ ∥ A ∥p, q ∥ x ∥p, |
(c) | ∥ A B ∥p, q ≤ ∥ A ∥r, q ∥ B ∥p, r (A (m × d)-Matrix, B (d × n)-Matrix). |
Übung 6
Zeigen Sie, dass für jede (m × n)-Matrix A = (aij)ij gilt:
(a) | ∥ A ∥1, ∞ = max1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n |ai j|, (Maximumsnorm) |
(b) | ∥ A ∥1, 1 = max1 ≤ j ≤ n ∑1 ≤ i ≤ m |ai j|, (Spaltensummennorm) |
(c) | ∥ A ∥∞, ∞ = max1 ≤ i ≤ m ∑1 ≤ j ≤ n |ai j|. (Zeilensummennorm) |
Übung 7
Sei (X, d) ein semimetrischer Raum. Für alle x, y ∈ X setzen wir
x ∼ y, falls d(x, y) = 0.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf X ist. Zeigen Sie weiter, dass die Funktion d′ : X/∼2 → [ 0, ∞ [ mit
d′(x/∼, y/∼) = d(x, y) für alle x, y ∈ X
wohldefiniert und (X, d′) ein metrischer Raum ist.
Übung 8
Zeigen oder widerlegen Sie, dass in allen metrischen Räumen (X, d) für alle x, y ∈ X und alle Folgen (xn)n ∈ ℕ in X gilt:
(a) | Gilt x = limn xn, so gilt limn d(xn, x) = 0. |
(b) | Gilt limn d(xn, x) = 0, so gilt x = limn xn. |
(c) | Gilt x = limn xn, so gilt d(x, y) = limn d(xn, y). |
(d) | Gilt d(x, y) = limn d(xn, y), so gilt x = limn xn. |
Übung 9
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Seien (xn)n ∈ ℕ, (yn)n ∈ ℕ konvergente Folgen in X, und seien x = limn xn und y = limn yn. Zeigen Sie:
d(x, y) = limn d(xn, yn).
Übung 10
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei (xn)n ∈ ℕ ein Cauchy-Folge in X. Zeigen Sie, dass diam { xn | n ∈ ℕ } < ∞.
Übung 11
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei (xn)n ∈ ℕ eine konvergente Folge in X. Zeigen Sie, dass (xn)n ∈ ℕ eine Cauchy-Folge ist.
Übung 12
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei (xn)n ∈ ℕ ein Folge in X. Für alle n sei Tn = { xk | k ≥ n }. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | (xn)n ∈ ℕ ist eine Cauchy-Folge. |
(b) | limn diam(Tn) = 0. |
Übung 13
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei D ⊆ X dicht in X. Jede Cauchy-Folge mit Gliedern in D konvergiere in (X, d). Zeigen Sie, dass (X, d) vollständig ist.
Übung 14
Sei h : (X, d) → (Y, e) abstandserhaltend, d. h.
e(h(x), h(y)) = d(x, y) für alle x, y ∈ X.
Zeigen Sie durch Nachweis der Definitionen :
(a) | h ist limesstetig. |
(b) | h ist ε-δ-stetig. |
Finden Sie weiter eine natürliche Abschwächung von „abstandserhaltend“, die immer noch die Stetigkeit impliziert.
Übung 15
Sei f : (X, d) → (Y, e), und sei p ∈ X. Zeigen Sie, dass f genau dann limesstetig in p ist, wenn f ε-δ-stetig in p ist.
Übung 16
Seien f : (X, d) → (Y, e) und p ∈ X. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | f ist stetig im Punkt p. |
(b) | ∀ε > 0 ∃δ > 0 diam({ f (x) | x ∈ X, d(x, p) < δ }) < ε. |
Übung 17
Seien f : (X1, d1) → (X2, d2) und g : (X2, d2) → (X3, d3) stetig.
Zeigen Sie, dass h = g ∘ f stetig ist.
Übung 18
Sei K = { x ∈ ℝ2 | |x| = 1 }, und sei f : [ 0, 2π [ → K definiert durch
f (x) = ei x für alle x ∈ [ 0, 2π [.
Weiter sei g = f −1. Untersuchen Sie g auf Stetigkeitseigenschaften (unter der euklidischen Metrik auf [ 0, 2π [ und K).
Übung 19
Seien (X1, d1), …, (Xn, dn) metrische Räume, und sei
X = X1 × … × Xn = { (x1, …, xn) | xk ∈ Xk für alle 1 ≤ k ≤ n }.
Für alle x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn) ∈ X sei
d(x, y) = max { d1(x1, y1), …, dn(xn, yn) }.
(a) | Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf X ist. |
(b) | Präzisieren Sie die Aussage: „Die Konvergenz in (X, d) ist die koordinatenweise Konvergenz.“ Beweisen Sie Ihre Präzisierung. |
Übung 20
Seien (Xn, dn) metrische Räume für alle n. Wir setzen
X = { (xn)n ∈ ℕ | xn ∈ Xn für alle n },
dsup(x, y) = supn 1/2n + 1 dn(xn, yn)/(1 + dn(xn, yn)),
dσ(x, y) = ∑n 1/2n + 1 dn(xn, yn)/(1 + dn(xn, yn))
für alle x = (xn)n ∈ ℕ und y = (yn)n ∈ ℕ in X. Zeigen Sie, dass dsup und dσ Metriken auf X sind und dass die Konvergenz in (X, dsup) und (X, dσ) die koordinatenweise Konvergenz ist.