3.2 Rektifizierbare Kurven

Übung 1

Sei n ≥ 1, und sei h : ℝ^m → ℝ^m eine euklidische Isometrie, d. h., es gilt d(h(x), h(y)) = d(x, y) für alle x, y  ∈  ℝ^m und die euklidische Metrik d. Weiter sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine rektifizierbare Kurve. Zeigen Sie, dass g = h ∘ f eine rektifizierbare Kurve ist und dass L(g) = L(f).

Übung 2

Sei f : [ a, b ] → ℝ derart, dass die zugeordnete Kurve g_f : [ a, b ] → ℝ², g(t) = (t, f (t)) für alle t  ∈  [ a, b ] rektifizierbar ist und dass die Umkehrfunktion h = f ⁻¹ existiert. Zeigen Sie, dass die h zugeordnete Kurve g_h rektifizierbar ist und dass L(g_f) = L(h_f).

Übung 3

Zeigen Sie, dass die Länge einer rektifizierbaren Kurve nicht von ihrer Parametrisierung abhängt.

Übung 4

Zeigen Sie, dass die Länge einer fast injektiven rektifizierbaren Kurve f : [ a, b ] → ℝ^m nur von ihrer Spur abhängt, d. h., ist g : [ c, d ] → ℝ^m fast injektiv und ist Bild(f) = Bild(g), so ist L(f) = L(g).

Übung 5

Seien f : [ a, b ] → ℝ^m und g : [ b, c ] → ℝ^m Kurven. Sei h : [ a, c ] → ℝ^m definiert durch h(t) = f (t) für t  ∈  [ a, b ] und h(t) = g(t) für t  ∈  [ c, d ]. Zeigen Sie, dass h genau dann rektifizierbar ist, wenn f und g rektifizierbar sind, und dass dann L(h) = L(f) + L(g).

Übung 6

Sei f : [ a, b ] → ℝ^m eine rektifizierbare Kurve. Weiter seien s  ∈  ℝ, v  ∈  ℝ^m und g : [ a, b ] → ℝ^m definiert durch

g(t)  =  s f (t)  −  v.  für alle s  ∈  [ a, b ].

Zeigen Sie, dass g rektifizierbar ist mit L(g) = |s| L(f).

Übung 7

Sei a > 0, und sei f : [ − a, a ] → ℝ^m eine Kurve derart, dass f|[ 0, a ] rektifizierbar ist. Für alle 1 ≤ j ≤ m gebe es ein σ_j  ∈  { −1, 1  }, sodass gilt:

f (−t)_j  =  σ_j f (t)_j  für alle t  ∈  [ − a, a ].

Zeigen Sie, dass f rektifizierbar ist und dass L(f) = 2 L(f|[ 0, a ]).

Übung 8

Geben Sie eine stetige Funktion g : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] an, sodass für den parametrisierten Graphen

f : [ 0, 1 ] → ℝ²,  f (t) = (t, g(t))  für alle t  ∈  [ 0, 1 ],

der Funktion gilt:

Übung 9

Zeigen Sie mit Hilfe des Berechnungssatzes für stetig differenzierbare Kurven und der Kettenregel die Invarianz der Länge einer Kurve unter einer stetig differenzierbaren Parametertransformation.

Übung 10

Sei c  ∈  ℝ, c ≠ 0. Weiter sei f : [ a, b ] → ℝ² definiert durch

f (t)  =  e^{(c + i) t}  für alle t  ∈  [ a, b ].

Übung 11

Wir betrachten die Kurve f : [ −π/2, 3π/2 ] → ℝ² mit

f (t)  =  |cos(t)| (cos(t), sin(t))  für alle t  ∈  [ −π/2, 3π/2 ].

Übung 12

Sei c > 0. Die Neilsche Parabel zum Parameter c auf [ −1, 1 ] ist die Kurve f : [ −1, 1 ] → ℝ² mit

f (t)  =  (t², c t³)   für alle t  ∈  [ −1, 1 ].

Übung 13

Berechnen Sie, für 0 < a < b, die Länge des Graphen der Wurzelfunktion auf [ a, b ]. Existiert die Länge auch für a = 0 und b > 0?

Übung 14

Berechnen Sie, für 0 < a < b, die Länge des Graphen der Logarithmusfunktion log auf [ a, b ].

Übung 15

Seien 0 < a < b. Zeigen Sie, dass

∫^b_a$\sqrt{1+1/{\mathrm{x}}^2}$  dx  =  ∫^log(b)_log(a)$\sqrt{1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}$  dx.

Wie lässt sich diese Identität im Hinblick auf Kurven interpretieren?

Übung 16

Begründen Sie die analytische Darstellung

f (t)  =  e^{− i (t + π/2)} + (t, 1)  =  − i e^−i t + (t, 1)  =  (t − sin(t), 1 − cos(t))

der Zykloide f : [ 0, 2π ] → ℝ².

Übung 17

Sei α  ∈  ℝ. Wir markieren den Punkt (0, 1 − α)  ∈  ℝ² und verbinden ihn fest mit dem Mittelpunkt (0, 1) des auf dem Nullpunkt aufliegenden Einheitskreises. Nun rollen wir den Kreis entlang der x-Achse gleichmäßig ab. Dabei beschreibt der markierte Punkt eine Kurve f : [ 0, 2π ] → ℝ². (Die Zykloide entspricht dem Fall α = 1.)

Übung 18

Zeigen, Sie, dass das folgende Analogon zum Mittelwertsatz bereits für Funktionen f : [ a, b ] → ℝ² im Allgemeinen nicht gilt:

Es gibt ein p  ∈  [ a, b ] mit f ′(p)  =  ^{f (b) − f (a)}_b − a.

Übung 19

Wir definieren ein zweidimensionales Vektorfeld g : ℝ² → ℝ² durch

g(x, y)  =  (y, x − y).