3.4 Partielle Ableitungen
Übung 1
Sei f : ℝ2 → ℝ definiert durch f (0) = 0 und
f(x, y) = x yx2 + y2 für alle (x, y) ≠ 0.
Untersuchen Sie f für alle Punkte (x, y) ∈ ℝ2 auf Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit in der ersten und zweiten Koordinate.
Übung 2
Sei f : ℝn → ℝ definiert durch f (x) = ∥ x ∥ für alle x ∈ ℝn (mit der Euklidischen Norm auf dem ℝn). Bestimmen Sie
P = { x ∈ ℝn | f ist differenzierbar in x }
und die partiellen Ableitungen von f für alle x ∈ P.
Übung 3
Sei I ⊆ ] 0, ∞ [ ein offenes Intervall, und sei g : I → ℝ stetig differenzierbar. Weiter sei n ≥ 1 und P = { x ∈ ℝn | ∥ x ∥ ∈ I }. Sei f : P → ℝ mit
f (x) = g(∥ x ∥) für alle x ∈ P.
Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist und bestimmen Sie Jf(x) für alle x ∈ P.
Übung 4
Sei g : ℝ → ℝ die Funktion mit g(t) = 0 und
g(t) = t2 sin(1/t) für alle t ≠ 0.
Wir definieren nun f : ℝ2 → ℝ durch
f(x, y) = g(x) + g(y) für alle (x, y) ∈ ℝ2.
Untersuchen Sie f auf Stetigkeit, totale Differenzierbarkeit und stetige Differenzierbarkeit.
Übung 5
Wir definieren f : ℝ2 → ℝ durch f (0) = 0 und
f(x, y) = x y x2 − y2x2 + y2 für alle (x, y) ≠ 0.
Zeigen Sie, dass f zweimal partiell differenzierbar ist und bestimmen Sie die zweifachen partiellen Ableitungen ∂1 ∂2 f und ∂2 ∂1 f.
f(x, y) mit f wie in der vorangehenden Übung
Übung 6
Sei f : P → ℝ partiell differenzierbar, und es gebe ein s mit
|∂j f (p)| ≤ s für alle p ∈ P und 1 ≤ j ≤ n.
Zeigen Sie, dass f stetig ist.
Übung 7
Sei P = ] 0, ∞ [ × ] − π, π [ ⊆ ℝ2, und sei f : P → ℝ2 definiert durch
f(r, φ) = r ei φ für alle (r, φ) ∈ P.
(a) | Berechnen Sie Jf(r, φ) für alle (r, φ) ∈ P. |
(b) | Sei (r, φ) ∈ P. Zeigen Sie, dass Jf(r, φ) invertierbar ist und bestimmen Sie Jf(r, φ)−1. |
(c) | Bestimmen Sie die Umkehrfunktion g : Q → P von f und berechnen Sie die Jacobi-Matrizen Jg(x, y) für alle (x, y) ∈ Q von g durch partielles Differenzieren. Wie hängen die Ergebnisse miteinander zusammen? |