3.5 Die Differentialoperatoren
Übung 1
Sei f : ℝn − { 0 } → ℝ definiert durch
f (x) = 1∥ x ∥ für alle x ∈ ℝn mit x ≠ 0.
Berechnen Sie grad(f).
Übung 2
Sei f : ℝ2 → ℝ definiert durch
f(x, y) = y2/2 + x y für alle (x, y) ∈ ℝ2.
(a) | Berechnen Sie das Gradientenfeld grad(f) : ℝ2 → ℝ2. |
(b) | Berechnen Sie die Jakobi-Matrix Jgrad(f)(x, y) für alle (x, y) ∈ ℝ. Begründen Sie einige Eigenschaften der Matrix. |
(c) | Erstellen Sie einen Konturplot von f (mit Berechnung der Niveau-Mengen) und zeichnen Sie einige Gradienten von f in den Plot ein. |
Übung 3
Sei f : ℝ2 → ℝ definiert durch f (0) = 0 und
f(x, y) = x2 yx4 + y2 für alle (x, y) ≠ 0.
Untersuchen Sie die Funktion f für alle Punkte (x, y) der Ebene auf Stetigkeit und Existenz der Richtungsableitung in Richtung w für alle w ∈ ℝ2 mit |w| = 1.
f(x, y)
Übung 4
Sei A ∈ ℝn × n, und sei f : ℝn → ℝ definiert durch
f (x) = 〈 x, A x 〉 für alle x ∈ ℝn.
Weiter sei w ∈ ℝn normiert.
(a) | Zeigen Sie durch Berechnung des Differentialquotienten der Richtungsableitung, dass ∂w f (x) = 〈 (A + At) x, w 〉 für alle x ∈ ℝn. |
(b) | Folgern Sie, dass für alle x ∈ ℝn gilt: grad(f)(x) = (A + At) x, grad(f)(x) = 2 A x, falls A symmetrisch. |
Übung 5
Zeigen Sie die Linearität der Differentialoperatoren grad, div, rot und ∆.
Übung 6
Zeigen Sie die Produktregeln für grad, div, rot und ∆.
Übung 7
Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝ3, zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie:
rot grad f = 0.
Übung 8
Sei f : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3, zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie:
div rot f = 0, d. h. 〈 ∇, ∇ × f 〉 = 0.
Übung 9
Sei f : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3, zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie:
∇ × (∇ × f) = ∇ 〈 ∇, f 〉 − ∆ f, wobei ∆ f = (∆ f1, ∆ f2, ∆ f3).
Übung 10
Sei I ⊆ ] 0, ∞ [ ein offenes Intervall, und sei g : I → ℝ zweimal stetig differenzierbar. Weiter sei n ≥ 1 und P = { x ∈ ℝn | ∥ x ∥ ∈ I }. Wir definieren f : P → ℝ durch
f (x) = g(∥ x ∥) für alle x ∈ P.
Zeigen Sie, dass für alle x ∈ ℝn mit x ≠ 0 gilt:
∆ f (x) = g″(∥ x ∥) + n − 1∥ x ∥ g′ ∥ x ∥.