3.6 Taylor-Entwicklung und lokale Extremwerte

Übung 1

Sei f : P → ℝ ν-mal stetig differenzierbar an der Stelle p  ∈  P, und sei g = T^ν_p f. Zeigen Sie, dass g : ℝⁿ → ℝ das eindeutige Polynom vom Grad kleinergleich ν ist mit ∂^(k)g(p) = f ^(k)(p) für alle k mit |k| ≤ ν.

Übung 2

Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung im Entwicklungspunkt 0 für die Funktion f : ℝ² → ℝ mit

f(x, y) = sin(x) cos(y) für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Übung 3

Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝⁿ, dreimal stetig differenzierbar, und sei p  ∈  P.

(a)	Bestimmen Sie (in Analogie zur Diskussion der Taylor-Polynome der Ordnungen 0, 1 und 2) das Taylor-Polynom T³_p f.

(b)	Welche partiellen Ableitungen tauchen für den Fall n = 2 im Vergleich zum Taylor-Polynom T²_p f zweiter Ordnung zusätzlich auf?

(c)	Berechnen Sie T³₀ f für f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = x² y.

Übung 4

Berechnen Sie das Taylor-Polynom dritter Ordnung im Entwicklungspunkt 0 für die Funktion f : ℝ² → ℝ mit

f(x, y) = (x³ + 2 x² − x) sin(y) für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Übung 5

Wir definieren f, g, h : ℝ² → ℝ durch:

f(x, y) = x², g(x, y) = x² + y³, h(x, y) = x² + y⁴ für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Zeigen Sie:

(a)	grad(f)(0) = grad(g)(0) = grad(h)(0) = 0.

(b)	H_f(0), H_g(0), H_h(0) sind positiv semidefinit, aber nicht positiv definit.

(c)	Der Ursprung 0 ist eine nicht strikte lokale Minimalstelle von f, keine lokale Extremalstelle von g und eine strikte lokale Minimalstelle von h.

Übung 6

Sei f : ℝ² → ℝ definiert durch

f(x, y) = cos(x) + sin(2y) für alle (x, y)  ∈  ℝ².

(a)	Berechnen Sie grad(f)(x, y) und H_f(x,y) für alle (x, y)  ∈  ℝ².

(b)	Identifizieren Sie alle lokalen Extrema von f.

Übung 7

Sei g : P → ℝ, P ⊆ ℝ² und sei N = niv_g(c) für ein c  ∈  ℝ. Weiter sei p  ∈  P mit grad(g)(p) ≠ 0. Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U von p₁ und eine Umgebung V von p₂ gibt, sodass für G = N ∩ (U × V) gilt:

(a)	Ist ∂_yg(p) ≠ 0, so ist G der Graph einer Funktion auf U.

(b)	Ist ∂_xg(p) ≠ 0, so ist G⁻¹ = { (y, x) \| (x, y)  ∈  G } der Graph einer Funktion auf V.

(c)	Sind ∂_xg(p), ∂_yg(p) ≠ 0, so ist G der Graph einer Bijektion von U nach V.

Übung 8

Seien g : P → ℝ stetig differenzierbar, N = niv_g(c) für ein c und p  ∈  P.

Sei x  ∈  ℝⁿ derart, dass eine differenzierbare Kurve h : [ 0, ε ] → N existiert mit h(0) = p und h′(0) = x. Zeigen Sie, dass x  ∈  T_pN.

Übung 9

Seien a, b, c, r > 0 und sei

N = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x²/a² + y²/b² + z²/c² = r² }.

Zeigen Sie, dass N eine Niveaumenge einer stetig differenzierbaren Funktion g : P → ℝ, P ⊆ ℝ³ ist, und bestimmen Sie T_pN für p  ∈  P.

Übung 10

Bestimmen Sie die lokalen Maximal- und Minimalstellen der Funktion f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = x y auf der Menge

N = { (x, y) | x²/4 + y²/2 = 1 }.

Übung 11

Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Multiplikatorregel im Allgemeinen kein hinreichendes Kriterium für eine lokale Extremalstelle darstellt.

Übung 12

Wir betrachten das nach oben geöffnete Einheits-Paraboloid P₁, also den Graphen der Funktion h₁ : ℝ² → ℝ mit

h₁(x, y) = x² + y² = 〈 (x, y), E(x, y) 〉, mit der Einheitsmatrix E  ∈  ℝ^2 × 2.

Wir strecken nun P₁ in x-Richtung um den Faktor $\sqrt{2}$ und in y-Richtung um den Faktor 1/ $\sqrt{2}$ , sodass wir ein elliptisches Paraboloid P₂ erhalten. Anschließend drehen wir P₂ um π/4 gegen den Uhrzeigersinn, sodass ein weiteres elliptisches Paraboloid P₃ entsteht.

Geben Sie Matrizen A, B  ∈  ℝ^2 × 2 an, sodass gilt

(a)	P₂ ist der Graph von h₂ : ℝ² → ℝ mit h₂(x, y) = 〈 (x, y), A(x, y) 〉,

(b)	P₃ ist der Graph von h₃ : ℝ² → ℝ mit h₃(x, y) = 〈 (x, y), B(x, y) 〉.

Übung 13

Sei f : ℝ² → ℝ definiert durch f(x, y) = xy. Weiter sei h₃ : ℝ² → ℝ wie in der vorangehenden Aufgabe. Wir betrachten nun die Niveaumenge

N = niv_h₃(1) = { (x, y)  ∈  ℝ² | h₃(x, y) = 1 }.

(a)	Skizzieren Sie N und einige Höhenlinien von f.

(b)	Ermitteln Sie anhand Ihrer Skizze Kandidaten für lokale Extremalstellen von f\|N. Begründen Sie Ihre Wahl.

(c)	Zeigen Sie mit Hilfe dass Multiplikator-Ansatzes von Lagrange, dass sich alle lokalen Extremalstellen von f\|N unter Ihren Kandidaten aus (b) befinden.