4. Fourier-Reihen

Übung 1

Sei f : ℝ → ℝ eine integrierbare Funktion, und sei p eine Periode von f. Zeigen Sie, dass für alle a, b  ∈  ℝ gilt:

∫^a+p_af (x) dx  =  ∫^b+p_bf (x) dx.

Übung 2

Zeigen, dass für alle k, n gilt:

Übung 3

Sei f : ℝ → ℝ ein trigonometrisches Polynom. Zeigen Sie, dass FS(f) = f.

Übung 4

Sei f : ℝ → ℝ eine 2π-periodische integrierbare Funktion, und sei

FS(f)  =  a02  +  ∑k ≥ 1 ak cos(k x) + bk sin(k x)

die Fourier-Reihe von f. Zeigen Sie:

Übung 5

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ]. Zeigen Sie:

FS(f)  =  FS(Re(f))  +  i FS(Im(f)).

Übung 6

Sei f = ∑_{− n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x mit c_k  ∈  ℂ für alle −n ≤ k ≤ n. Bestimmen Sie die Fourier-Reihe FS(f) von f.

Übung 7

Seien f, g : ℝ → ℂ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ], und seien

FS(f)  =  ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x,  FS(g)  =  ∑_{k  ∈  ℤ} d_k e^i k x.

Bestimmen Sie die Fourier-Reihen von

(a)  c f + d g  für c, d  ∈  ℂ,  (b)  f,  (c)  e^i a x f (x)  für a  ∈  ℤ.

Übung 8

Zeigen Sie, dass für alle n und alle x  ∈  ℝ gilt:

¹_n ∑_k ≤ n D_k(x)  =  ¹_n  ${\left(\frac{\text{sin}(\text{nx}/2)}{\text{sin}(\mathrm{x}/2)}\right)}^2$.

Übung 9

Beweisen Sie das Lemma von Riemann für Regelfunktionen, indem Sie den zweiten Teil des Beweises abändern und eine Regelfunktion gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren.

Übung 10

Zeigen Sie, dass es eine Regelfunktion auf [ − π, π ] gibt, sodass f ′(0−) und f ′(0+) nicht existieren.

Übung 11

Zeigen Sie, dass die beiden Definition der komplexwertigen Ableitung f ′(p) für f : P → ℂ, P ⊆ ℝ äquivalent sind.

Übung 12

Sei h : ℝ → ℝ mit h(x) = sin(x)/x für x ≠ 0 und h(0) = 1. Zeigen Sie, dass

∫^∞₀h(x) dx  =  ^π₂  und  ∫^∞_−∞h(x) dx  =  π.

Übung 13

Sei a  ∈  [ 0, π ], und sei f : ℝ → ℂ die 2π-periodische Funktion mit

$\mathrm{f}(\mathrm{x})= { \begin{array}{cc}1\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\in [-\mathrm{a},\mathrm{a}]\mathrm{},\hfill \\ 0\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\in [-\mathrm{\pi }\mathrm{},-\mathrm{a}[\cup ]\mathrm{a},\mathrm{\pi }]\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe FS(f) von f in reeller und komplexer Darstellung.

Übung 14

Sei V = { f : ℝ → ℂ | f ist 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ] }.

Zeigen Sie, dass für alle f, g, h  ∈  V, und alle α  ∈  ℂ gilt:

Übung 15

Zeigen Sie, dass für alle f, g  ∈  V und alle α  ∈  ℂ gilt:

Übung 16

Zeigen Sie, dass für alle f  ∈  V gilt:

${\left(\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\text{}\text{|f}(\mathrm{x})\mathrm{|}\text{dx}\right)}^2$  ≤  ¹_2π  ∫^2π₀|f (x)|² dx.

Übung 17

Zeigen Sie, dass es eine Folge (f_n)_{n  ∈  ℕ} in V gibt mit den Eigenschaften:

Übung 18

Sei (f_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in V. Weiter sei r ≥ 0. Es gelte:

Zeigen Sie, dass lim_n ∫^2π₀|f_n(x)|² dx  =  0.

Übung 19

Skizzieren Sie Funktionen f_n  ∈  V, n  ∈  ℕ mit den Eigenschaften:

Übung 20

Sei (f_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in V mit lim_n f_n = 0 in 2-Seminorm, d. h., es gelte

lim_n ∫^2π₀|f_n(x)|² dx  =  0.

Zeigen Sie, dass lim_n ∫^2π₀|f_n(x)| dx  =  0.

Übung 21

Zeigen Sie, dass im Approximationssatz „stetig und stückweise stetig differenzierbar“ durch „glatt“ (unendlich oft differenzierbar) ersetzt werden kann.

Übung 22

Sei f : ℝ → ℝ die 2π-periodische Funktion mit

f (x)  =  ^{(π − x)2}₄   für alle x  ∈  [ 0, 2π ].