Analysis 2 | 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen – Oliver Deiser

Übung 1

Rechnen Sie die Lösungen f (x) = ae^x + be^−x und g(x) = ccosh(x) + dsinh(x) von y″ = y ineinander um.

Übung 2

Die Differentialgleichung

y″ = − c y, c > 0

hat genau die Lösungen

f_{a, b}(x) = a cos(w x) + b sin(w x), w = $\sqrt{c}$ , a, b  ∈  ℝ.

Zeigen Sie, dass sich diese Lösungen in der Form

g_{d, x₀}(x) = d cos(w x + x₀), w = $\sqrt{c}$ , d ≥ 0, x₀  ∈  ℝ

darstellen lassen. Wie berechnen sich d, x₀ aus a, b? Wie a, b aus d, x₀? Welche anschauliche Bedeutung haben d und x₀?

Übung 3

Geben Sie eine auf ℝ definierte allgemeine Lösung (mit vier freien Parametern) für die Differentialgleichung y⁽⁴⁾ = y an.

Übung 4

Sei n ≥ 1. Konstruieren Sie mit Hilfe von Potenzreihen eine auf ℝ definierte allgemeine Lösung (mit n freien Parametern) der Differentialgleichung y⁽ⁿ⁾ = y.

Übung 5

Sei w = $\sqrt{3}$ /2. Weiter seien a, b, c  ∈  ℝ und f, g : ℝ → ℝ definiert durch

f (x) = a e^x + b e^−x/2 cos(wx) + c e^−x/2 sin(wx),

g(x) = a e^−x + b e^x/2 cos(wx) + c e^x/2 sin(wx).

Welchen Ruhm dürfen diese Funktionen in der Theorie der Differentialgleichungen für sich beanspruchen?

Übung 6

Bestimmen Sie die Lösungen f : ℝ → ℝ der folgenden Differentialungleichung mit Anfangswert:

y′ ≤ 2 y, y ≥ 0, y(0) = 0.

Übung 7

Wir betrachten das Anfangswertproblem

y′ = ^{x³ + 2xy − x}_{x² − 1} , x > 1, y(2) = −2.

(a)	Plotten oder skizzieren Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung im Rechteck ] 1, 5 ] × [ −2, 2 ] (wahlweise mit Geradenstücken oder Vektoren).

(b)	Lösen Sie das AWP, sodass alle Schritte der Lösung erkennbar werden.

(c)	Zeichnen Sie Ihre Lösung in das Richtungsfeld ein.

Übung 8

Lösen Sie die Anfangswertprobleme

(a) y′ = x y, y(0) = 0,

(b) y′ = x y, y(0) = 1,

Übung 9

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

(a)	y′ = x y + x,	y(0) = 0,
(b)	y′ = x y + x³,	y(0) = 0,
(c)	y′ = x y + x^(2n + 1),	y(0) = 0, wobei n  ∈  ℕ beliebig.
(d)	y′ = x y + x^(2n + 1),	y(0)   ∈  ℝ, wobei n  ∈  ℕ beliebig.

Übung 10

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′ = x y + x², y(0) = 0,

mit Hilfe der Fehlerfunktion F : ℝ → ℝ

F(x) = ∫^x₀ e^−t² dt für alle x  ∈  ℝ.

Übung 11

Seien x₀, y₀  ∈  ℝ. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme mit y(x₀) = y₀:

(a) y′ = x² y,	(b) y′ = (x² + 1) y,
(c) y′ = cos(x) y,	(d) y′ = arctan(x) y.

Übung 12

Seien x₀, y₀  ∈  ℝ. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme mit y(x₀) = y₀:

(a) y′ = y + 1,

(b) y′ = y + x,

(c) y′ = y + x².

Übung 13

Seien x₀, y₀  ∈  ℝ beliebig. Das Anfangswertproblem

y′ = y + x⁵, y(x₀) = y₀,

hat die Lösung f : ℝ → ℝ mit

f (x) = (120 + 120x₀ + 60x²₀ + 20x³₀ + 5x⁴₀ + x⁵₀ + y₀) e^x − x₀ − (120 + 120x + 60x² + 20x³ + 5x⁴ + x⁵).

Finden Sie durch Verallgemeinerung der Form von f die Lösungen von

(a)	y′ = y + xⁿ,	y(x₀) = y₀, wobei n ≥ 1 beliebig,
(b)	y′ = a y + b xⁿ,	y(x₀) = y₀, wobei a, b  ∈  ℝ und n ≥ 1 beliebig.

Übung 14

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′ = x y², y(x₀) = y₀.

Übung 15

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′ = x $\sqrt{y}$ , y(x₀) = y₀.

Übung 16

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′ = xⁿ sin(y), y(0) = π/2, wobei n ≥ 1 beliebig.

Übung 17

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′ = log(x) (y + a), y(1) = 0, wobei a  ∈  ℝ beliebig.

Übung 18

Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′ = e^x + y, y(x₀) = y₀.