6. Mehrdimensionale Integration

Übung 1

Sei f : [ 0, 1 ]² → ℝ mit

f(x, y) = x + y für alle x, y  ∈  [ 0, 1 ]².

Berechnen Sie für alle n ≥ 1 die Riemann-Summe ∑_p f für die Partition

p = (t_k, s_j, x_{k, j})_{k, j ≤ n} , wobei

t_k = k/n, s_j = j/n, x_{k, j} = (t_k, s_j) für alle 0 ≤ k, j ≤ n.

Übung 2

Sei P = [ a, b ] × [ c, d ], und sei f : P → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass

∫^d_c∫^b_af(x, y) dx dy = ∫^b_a∫^d_cf(x, y) dy dx.

Betrachten Sie hierzu die Funktion g : [ a, b ] → ℝ mit

g(t) = ∫^d_c∫^t_af(x, y) dx dy für alle t  ∈  [ a, b ]

und ihre Ableitung (vgl. „Parameterabhängige Integrale“ in 3. 4).

Übung 3

Seien r, h > 0. Berechnen Sie das Volumen des Rotationsparaboloids

P_{r, h} = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | z  ∈  [ 0, h ], ${(\frac{x}{r})}^{2}$ + ${(\frac{y}{r})}^{2}$ ≤ z }.

Übung 4

Seien a, b > 0. Berechnen Sie die Fläche der Ellipse

E_{a, b} = { (x, y)  ∈  ℝ² | ${(\frac{x}{a})}^{2}$ + ${(\frac{y}{b})}^{2}$ ≤ 1 }

mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips.

Übung 5

Stellen Sie einen Volltorus T mit den Radien R ≥ r > 0 als Mengen-Differenz zweier Rotationskörper T₁ und T₂ dar, die durch Funktionen f₁ und f₂ auf der z-Achse definiert sind. Berechnen Sie die Volumina von T₁ und T₂ und mit ihrer Hilfe das Volumen von T.

Übung 6

Sei r > 0. Betrachten Sie den Kreisbogen K im wie im Diagramm und berechnen Sie das Volumen, das entsteht, wenn K um die z-Achse rotiert wird.

Übung 7

In Verallgemeinerung der vorherigen Aufgabe seien nun

m > 0, r  ∈  [ m, $\sqrt{2}$ m ].

Berechnen Sie wieder das bei Rotation des Kreisbogens K um die z-Achse entstehende Volumen, vgl. das folgende Diagramm.

Übung 8

Seien R, h > 0, a = h/R², und sei A die durch die Funktion f : K_R → ℝ mit

K_r = { (x, y)  ∈  ℝ² | x² + y² ≤ R² },

f(x, y) = a(x² + y²) für alle (x, y)  ∈  K_R

dargestellte Oberfläche des Rotationsparaboloids mit Radius R und Höhe h. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt von A.

Übung 9

Sei c > 0. Reelle Zahlen u, v heißen elliptischen Koordinaten eines Punktes (x, y)  ∈  ℝ² (bzgl. der Konstanten c), falls

x = c cosh(u) cos(v),

y = c sinh(u) sin(v).

(1)	Bestimmen und skizzieren Sie die Koordinatenlinien dieses Koordinatensystems, also die Linien, auf denen u bzw. v konstant sind. Welche Halbachsen haben die dabei auftauchenden Ellipsen?

(2)	Geben Sie die Transformationsformel für Integrale in elliptischen Koordinaten an. Geben Sie hierzu die Transformation Φ genau an und berechnen Sie die Determinante von J_Φ(x, y).

(3)	Seien nun a, b > 0. Modifizieren Sie die elliptischen Koordinaten derart, dass die Ellipse mit x-y-Halbachsen a und b die Koordinatenlinie „u = 1“ des Koordinatensystems ist.

Übung 10

Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des Graphen der Funktion f : [ 0, 1 ]² → ℝ mit

f(x, y) = x² + y für alle (x, y)  ∈  [ 0, 1 ]².