Ausblick: Die Quadratur der Parabel bei Archimedes
Welchen Inhalt A hat die Fläche, die eine umgekehrte Einheitsparabel wie in der folgenden Abbildung mit der x-Achse einschließt?
f : [ −b, b ] → ℝ mit f (x) = b2 − x2
Die Berechnung des Integrals im obigen Beispiel 2 erlaubt eine Antwort auf diese Frage:
A = 2b · b2 − 2 ∫b0x2 dx = 2 b3 − 2 b33 = 43 b3.
In dieser Berechnung verwenden wir die folgende Zerlegung des das Parabelsegment einhüllenden Rechtecks der Fläche 2b · b2 = 2 b3 in drei Teile:
Es gilt B = ∫b0x2 dx
Die erste bekannte Berechnung von Parabelsegmenten stammt von Archimedes und ist ein Juwel der Mathematikgeschichte. Archimedes hat eine Ausschöpfung des Parabelsegments durch Dreiecke verwendet:
Sind D, D1, D2, …, Dn, … die Flächeninhalte der im Diagramm gezeigten Dreiecke, so gilt, wie man mit elementargeometrischer Argumentation (oder mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips, vgl. Abschnitt 6) zeigt:
| A | = D + 2 D1 + 4 D2 + … + 2n Dn + … |
| = D + 2 D8 + 4 D82 + … + 2n D8n + … | |
| = D ∑n 14n = 43 D = 43 b3. |
Die Fläche des Parabelsegments ist also 4/3 der Fläche des einbeschriebenen Dreiecks gleicher Höhe (Grundfläche 2 b und Höhe b2).
Die Überlegungen zeigen, dass es mehrere äquivalente Möglichkeiten gibt, einen Flächeninhalt zu bestimmen. Der Weg über Riemann-Summen entspricht der Approximation der Fläche durch immer feinere streifenförmige Rechtecksflächen und einem zugehörigen Grenzübergang, der Weg von Archimedes entspricht der Ausschöpfung der Fläche durch elementare Flächen (hier: Dreiecke) und einer unendlichen Summation (hier: einer geometrischen Reihe). Was noch fehlt, ist ein Kalkül, der die zwar trickreich-interessanten, aber doch mühevollen problemspezifischen Berechnungen vereinfacht und es erlaubt, das Integral aus einer analytischen Formulierung des Problems zu gewinnen. Einen solchen Kalkül werden wir in 1. 4 kennenlernen. Richtig würdigen kann man ihn nur im Vergleich mit speziellen Untersuchungen.