Die Limesformulierung der Integrierbarkeit
In der Integrierbarkeitsbedingung haben wir eine ε-δ-Formulierung verwendet. Um den Übergang von den Approximationen zum Grenzwert deutlicher zu machen, formulieren wir die Integrierbarkeitsbedingung noch etwas um. Hierzu definieren wir:
Definition (Limesnotation für Riemann-Summen)
Sei f : [ a, b ] → ℝ und c ∈ ℝ. Dann schreiben wir
limδ(p) → 0 ∑p f = c,
falls gilt:
Für jede Folge (pn)n ∈ ℕ von Partitionen von [ a, b ] mit limn δ(pn) = 0 gilt limn ∑pn f = c.
Leicht zu sehen ist:
Satz (Limesformulierung der Integrierbarkeit)
Seien f : [ a, b ] → ℝ und c ∈ ℝ. Dann sind äquivalent :
(a) | f ist integrierbar und I(f) = c. |
(b) | limδ(p) → 0 ∑p f = c. |
Der Leser vergleiche diesen Satz (und seinen Beweis) mit der Äquivalenz der ε-δ-Stetigkeit und der Limesstetigkeit. Obwohl es sich letztendlich nur um ein Spiel mit Definitionen handelt, ist die Umformulierung sicher die Mühe wert. Der Schritt von der Riemann-Summe zum Riemann-Integral erscheint nun als Grenzübergang:
∫baf = limδ(p) → 0 ∑p f, (Limesformulierung des Integrals)
vorausgesetzt, der Limes existiert.
Durch die mögliche Beschränkung auf äquidistante Partitionen können wir auch schreiben:
∫baf = limp äquidistant, Länge(p) → ∞ ∑p f,
wobei die rechte Seite bedeutet:
Für jede Folge (pn)n ∈ ℕ von äquidistanten Partitionen von [ a, b ] mit limn Länge(pn) = ∞ gilt limn ∑pn f = c.