Das Ober-, Unter- und Darboux-Integral

Der der Approximation durch Ober- und Untersummen entsprechende Grenzübergang lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Suprema und Infima durchführen :

Definition (Ober- und Unterintegral, Darboux-Integral)

Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Dann setzen wir :

S f = inf_p S_p f, s f = sup_p s_p f.

Die Zahlen S f und s f heißen das Ober- bzw. Unterintegral von f. Die Funktion f heißt Darboux-integrierbar, falls S f = s f. In diesem Fall heißt

c = S f = s f

das Darboux-Integral von f.

Das Oberintegral S f und das Unterintegral s f existieren für jede beschränkte Funktion f : [ a, b ] → ℝ. Stets gilt s f ≤ S f. Stimmen die beiden Werte überein, so ist der Versuch der Flächenmessung mit Hilfe von Ober- und Untersummen erfolgreich und wir nennen die Funktion dann Darboux-integrierbar.

Die Darboux-Integrierbarkeit können wir sehr kompakt notieren:

Satz (Umformulierung der Darboux-Integrierbarkeit)

Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Dann sind äquivalent:

(a)	f ist Darboux-integrierbar.

(b)	Für alle ε > 0 existiert eine Partition p von [ a, b ] mit S_p f − s_p f < ε. (Darbouxsche Integrierbarkeitsbedingung)

Beweis

(a) impliziert (b):

Sei ε > 0. Wegen S f = s f existieren Partitionen p und q von [ a, b ] mit

S_p f − S f < ^ε₂ , s f − s_q f < ^ε₂ .

Sei nun r eine Verfeinerung von p und q, d. h., eine Partition von [ a, b ], deren Stützstellen die Stützstellen von p und q umfasst. Dann gilt (Übung)

S_p f ≥ S_r f ≥ S f = s f ≥ s_r f ≥ s_q f

und damit

S_r f − s_r f < ε.

(b) impliziert (a) :

Sei ε > 0 und p eine Partition mit S_p f − s_pf < ε. Wegen

S_p f ≥ S f ≥ s f ≥ s_p f

gilt dann auch S f − s f < ε. Da ε > 0 beliebig ist, folgt S f = s f.

Zum Nachweis der Darboux-Integrierbarkeit genügt es also, für jedes ε > 0 eine Partition p zu finden, sodass die Ober- und Untersumme von f bzgl. p weniger als ε voneinander abweichen.

Die Oszillation einer Funktion

Wir betrachten die Differenzen S_p f − s_p f noch etwas genauer.

Definition (Oszillation einer Funktion auf einer Menge)

Ist P ⊆ ℝ, f : P → ℝ und A ⊆ P, so heißt

os_A(f) = sup_{x  ∈  A} f (x) − inf_{x  ∈  A} f (x)

die Oszillation von f auf A.

Die Darbouxsche Integrierbarkeitsbedingung für ein f : [ a, b ] → ℝ besagt, dass wir für jedes ε > 0 eine Partition p = (t_k)_k ≤ n von [ a, b ] finden können, sodass die Summe ∑_k ≤ n (os_{[ t_k, t_k + 1 ]} f) (t_k + 1 − t_k) der mit den Intervall-Längen gewichteten Oszillationen von f kleiner als ε ist. Es gilt

os_A(f) = sup_{x₁, x₂  ∈  A} |f (x₁) − f (x₂)|,

sodass wir die Darbouxsche Integrierbarkeitsbedingung auch wie folgt formulieren können : Für alle ε > 0 existiert eine Partition p = (t_k)_k ≤ n mit

∑_k ≤ n (sup_{x₁, x₂  ∈  [ t_k, t_k + 1 ]} |f (x₁) − f (x₂)|) (t_k + 1 − t_k) < ε.