Die Äquivalenz der Integrale
Die Ansätze von Riemann und Darboux sind äquivalent :
Satz (Äquivalenz von Riemann- und Darboux-Integral)
Sei f : [ a, b ] → ℝ. Dann sind äquivalent :
(a) | f ist Riemann-integrierbar. |
(b) | f ist beschränkt und Darboux-integrierbar. |
In diesem Fall gilt dann I(f) = s f = S f.
Insbesondere können wir also die Darbouxsche Integrierbarkeitsbedingung verwenden, um zu zeigen, dass eine Funktion Riemann-integrierbar ist.
Beweis
Ist f beschränkt, p eine Partition von [ a, b ] und ε > 0, so gilt für alle hinreichend feinen Partitionen q von [ a, b ] mit Stützstellen, dass
∑q f ≤ Sp f + ε.
(Beweis als Übung.) Analoges gilt für sp f. Hieraus folgt, dass die Darboux-Integrierbarkeit die Riemann-Integrierbarkeit impliziert und die Integrale übereinstimmen. Umgekehrt lässt sich jede Obersumme Sp f durch Wahl von geeigneten Stützstellen beliebig genau durch eine Riemann-Summe approximieren, und dasselbe gilt für jede Untersumme sp f. Hieraus folgt, dass die Riemann-Integrierbarkeit die Darboux-Integrierbarkeit impliziert.
Weiter gewinnen wir:
Satz (Beschränkung auf äquidistante Partitionen in den Integral-Definitionen)
Sei f : [ a, b ] → ℝ beschränkt. Dann ist f genau dann Darboux-integrierbar, wenn f äquidistant Darboux-integrierbar ist (d. h., wenn in der Definition des Darboux-Integrals nur äquidistante Partitionen verwendet werden). Weiter stimmt die Riemann-Integrierbarkeit mit der äquidistanten Riemann-Integrierbarkeit überein.
Beweis
Für jede Partition p von [ a, b ] und alle ε > 0 existiert eine äquidistante Partition q von [ a, b ] mit Sq f ≤ Sp f + ε (Übung). Hieraus folgt
S f = infp Sp f = infq äquidistant Sq f.
Analoges gilt für s f. Dies zeigt die erste Behauptung. Weiter sind die äquidistanten Versionen des Riemann- und Darboux-Integrals äquivalent (obiger Beweis bleibt gültig), woraus die zweite Behauptung folgt.