4. Differentiation und Integration

Wir haben das Integral bislang vor allem begrifflich untersucht. Dabei haben wir viele interessante Eigenschaften und Feinheiten der Konstruktion entdeckt, aber die Berechnung von Integralen durch Riemann- und Darboux-Summen ist nach wie vor mühsam. Durch ein überraschend einfach zu beweisendes weiteres theoretisches Ergebnis werden wir nun schlagartig in die Lage versetzt, viele Integrale mühelos zu bestimmen. Das Zauberwort, das das Tor öffnet, heißt Differenzieren. Anschaulich ist klar, dass zwischen der Steigung einer Funktion und ihrem Integral ein enger Zusammenhang besteht. Eine in einem Punkt p stark ansteigende positive Funktion f sammelt rechts von p mehr Fläche unter sich als eine in p flachere Funktion g mit g(p) = f (p). Es zeigt sich, dass dieser Zusammenhang nicht nur eng, sondern besonders einfach ist: Die Integration erscheint als die Umkehrung der Differentiation. Wir diskutieren zwei verschiedene Versionen dieses fundamentalen Zusammenhangs.