Stammfunktionen

Wir erinnern noch einmal an den Begriff der Stammfunktion, der in diesem Kapitel eine Schlüsselrolle spielen wird.

Definition (Stammfunktion)

Sei P ⊆ ℝ, und sei f : P → ℝ. Dann heißt eine differenzierbare Funktion F : P → ℝ eine Stammfunktion von f, falls F′ = f.

Im Folgenden sei I immer ein offenes, halboffenes, abgeschlossenes Intervall, das beschränkt oder unbeschränkt sein kann. Für den unbeschränkten Fall benötigen wir noch:

Definition (lokale Integrierbarkeit)

Eine Funktion f : I → ℝ heißt lokal integrierbar, falls f|[ a, b ] : [ a, b ] → ℝ für alle a < b in I integrierbar ist.

Jede stetige oder monotone Funktion f : ℝ → ℝ ist lokal integrierbar. Weiter ist zum Beispiel f : ] 0, ∞ [ → ℝ mit f (x) = 1/x lokal integrierbar.

Wir beweisen zwei Hauptsätze I und II, die den Zusammenhang zwischen dem Differenzieren und Integrieren beschreiben. Entscheidend wird einmal der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und einmal der Mittelwertsatz der Integralrechnung verwendet.