Die Kreiszahl π ist irrational

 Der erste Nachweis der Irrationalität von π gelang Johann Heinrich Lambert 1761 mit Hilfe von Kettenbrüchen. Im Jahr 1947 gab Ivan Niven den folgenden trickreichen Beweis mit Hilfe von Integration.

Satz (Irrationalität der Kreiszahl π)

π2 ist irrational. Insbesondere ist π irrational.

Beweis

Annahme, π2 ist rational. Dann gibt es p, q  ∈  ℕ mit π2 = p/q. Wir definieren fn, Fn : [ 0, 1 ] → ℝ für alle n durch:

fn(x)  =  xn (1 − x)nn!,  Fn(x)  =  qn ∑k ≤ n (−1)k π2(n − k) f(2k)n(x).

Sei nun n beliebig. Für alle k gilt f(k)n(0), f(k)n(1)  ∈  ℤ und damit gilt auch Fn(0), Fn(1)  ∈  ℤ. Unter Verwendung von f (k) = 0 für k > 2n erhalten wir:

Fn″(x) =  qn ∑k ≤ n − 1 (−1)k π2(n − k) f(2(k + 1))n(x)
=  qn ∑1 ≤ k ≤ n (−1)k − 1 π2(n − k + 1) f(2k)n (x)
=  −qn π2 ∑1 ≤ k ≤ n (−1)k π2(n − k) f(2k)n (x) =  −π2 (Fn(x) − qn π2n fn(x)).

Damit gilt

(Fn′(x) sin(πx)  −  π Fn(x) cos(πx))′  =  (Fn″(x) + π2Fn(x)) sin(πx)

 =  qn π2n + 2 fn(x) sin(πx)  =  π2 pn fn(x) sin(πx).

Nach dem Hauptsatz ist also

∫10π pn fn(x) sin(πx) dx  =  1π Fn′(x)sin(πx)−πFn(x)cos(πx)x=0x=1

 =  −Fn(x)cos(πx)x=0x=1  =  Fn(0) + Fn(1)   ∈   ℤ.

Wegen sin(πx)  ∈  [ 0, 1 ] und fn(x)  ∈  [ 0, 1/n! ] für alle x  ∈  [ 0, 1 ] gilt aber

0  <  ∫10π pn fn(x) sin(πx) dx  <  πpnn!.

Ist n hinreichend groß, so besitzt das Integral also einen Wert in ] 0, 1 [, im Widerspruch zu Fn(0) + Fn(1)  ∈  ℤ.