Der Vertauschungssatz für Ableitungen
Wir hatten mit Methoden der Differentialrechnung bewiesen, dass wir konvergente Funktionenreihen unter bestimmten Bedingungen gliedweise differenzieren dürfen. Mit Hilfe des in Kapitel 1. 3 bewiesenen Vertauschungssatzes für die Integration und des Hauptsatzes können wir nun zeigen:
Satz (Vertauschungssatz für Ableitungen)
Seien fn : I → ℝ stetig differenzierbare Funktionen, die punktweise gegen f : I → ℝ konvergieren. Die Folge (fn′)n ∈ ℕ der Ableitungen konvergiere gleichmäßig. Dann ist f stetig differenzierbar und es gilt
f ′ = limn fn′.
Beweis
Sei g = limn fn′. Dann ist g als gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen stetig. Also existiert die Integralfunktion G : I → ℝ von g zu einem beliebigen fest gewählten Startwert s ∈ I. Dann gilt für alle x ∈ I:
| (+) G(x) | = ∫xs g = ∫xs limn fn′ = limn ∫xs fn′ |
| = limn (fn(x) − fn(s)) = f (x) − f (s). |
Beim dritten Gleichheitszeichen haben wir den Vertauschungssatz für die Integration verwendet und beim vorletzten den Hauptsatz I. Da G stetig differenzierbar ist, ist nach (+) auch f − f (s) und damit f stetig differenzierbar. Nach dem Hauptsatz II ist G eine Stammfunktion von g. Also gilt
limn fn′(x) = g(x) = G′(x) = (f (x) − f (s))′ = f ′(x) für alle x ∈ I.
Aus dem Satz lässt sich, wie wir in den Übungen sehen werden, auch unser früheres Ergebnis über das gliedweise Differenzieren von Potenzreihen herleiten (vgl. Kapitel 4. 6 in Band 1).
Liegt lediglich punktweise Konvergenz der Ableitungen vor, so kann die Vertauschbarkeit von Limesbildung und Differentiation verletzt sein, selbst bei stetiger Grenzfunktion der Ableitungen. Ein Gegenbeispiel liefern die Funktionen fn : [ 0, 1 ] → ℝ mit
fn(x) = n2 (xn + 1n + 1 − xn + 2n + 2) für alle x ∈ [ 0, 1 ] und n ∈ ℕ.
Die folgenden Diagramme visualisieren einige Funktionen fn der Folge und ihre Ableitungen fn′.
Die Folge (fn′)n ∈ ℕ konvergiert trotz der auftretenden Ausschläge punktweise gegen die Nullfunktion. Dagegen konvergiert die Folge (fn)n ∈ ℕ punktweise gegen die im Punkt 1 unstetige und damit nicht differenzierbare Indikatorfunktion 1{ 1 } auf [ 0, 1 ].
Weiter halten wir fest, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz von stetig differenzierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht einmal die punktweise und damit sicher nicht die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen gefolgert werden kann. Ein Gegenbeispiel liefern die Funktionen gn : [ 0, 2π ] → ℝ mit
gn(x) = sin(nx)n für alle x ∈ [ 0, 2π ] und n ≥ 1.
Es gilt limn ≥ 1 gn = 0 (gleichmäßig), aber
gn′(x) = cos(nx) für alle x ∈ [ 0, 2π ] und n ≥ 1,
sodass (gn′)n ≥ 1 nicht punktweise konvergiert. Es genügt also nicht, die Funktionfolge auf gleichmäßige Konvergenz zu überprüfen, wenn man den Satz anwenden möchte; man muss im Allgemeinen die Ableitungen betrachten.