Ausblick
Berechnung des Gauß-Integrals

Wir zeigen so elementar wie möglich:

Satz (Gauß-Integral oder Euler-Poisson-Integral)

∫^∞_−∞e^−x² dx = $\sqrt{π}$ , ∫^∞_−∞e^−x²/2 dx = $\sqrt{2 π}$ .

Der folgende trickreiche Beweis folgt einer Darstellung von Robert Weinstock aus dem Jahr 1990.

Beweis

Es genügt, das erste Integral zu berechnen (das zweite ergibt sich durch Skalierung von x²/2 = (x/ $\sqrt{2}$ )², vgl. 1. 5). Wir definieren F, H : ℝ → ℝ durch

F(x) = ∫^x₀ e^−t² dt, H(x) = − ∫¹₀ $\frac{e^{- x (1 + t^{2})}}{1 + t^{2}}$ dt für alle x  ∈  ℝ.

Die sog. Fehlerfunktion F ist bis auf einen Faktor 1/2 die Integralfunktion der Gauß-Funktion zum Startwert s = 0. Die Funktion H ist eine Hilfsfunktion. Der Wert H(0) kann kann durch den Arkustangens bestimmt werden, wodurch π ins Spiel kommen wird. Weiter ist lim_x → ∞ H(x) = 0.

Die Funktion H ist differenzierbar und die Ableitung von H ergibt sich durch Ableiten des Integranden in der Definition von H nach x (wir gehen unten hierauf gleich noch ein). Damit gilt:

H′(x) = ∫¹₀e^{−x (1 + t²)} dt = $\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}$ $\int_{0}^{\sqrt{x}}$ e^−t² dt = $\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}$ F( $\sqrt{x}$ ).

Folglich gilt für alle b > 0 nach dem Hauptsatz I und II:

H(b) − H(0)	= ∫^b₀H′(x) dx = ∫^b₀ $\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}$ F( $\sqrt{x}$ ) dx
	= $\int_{0}^{\sqrt{b}}$ 2 e^−t² F(t) dt = $\int_{0}^{\sqrt{b}}$ 2 F′(t) F(t) dt
	= $\int_{0}^{\sqrt{b}}$ F(t)²′ dt = F( $\sqrt{b}$ )² − F(0)² = F( $\sqrt{b}$ )².

Wegen

H(0) = − ∫¹₀¹_1 + t² dt = − ${arctan|}_{0}^{1}$ = − ^π₄

gilt also

lim_b → ∞ F( $\sqrt{b}$ )² = ^π₄ + lim_b → ∞ H(b) = ^π₄ ,

sodass

∫^∞_−∞e^−x² dx = 2 lim_b → ∞ $\int_{0}^{\sqrt{b}}$ e^−x² dx = 2 lim_b → ∞ F( $\sqrt{b}$ ) = $\sqrt{π}$ .

Im Beweis haben wir H „unter dem Integral“ differenziert. Um diese Vertauschung von Limesbildung und Integration zu rechtfertigen, betrachten wir ein beliebiges x  ∈  ℝ und eine Nullfolge (h_n)_{n  ∈  ℕ}. Dann gilt

lim_n ^{H(x + h_n) − H(x)}_{h_n} = lim_n ∫¹₀ e^{− x (1 + t²)} $\frac{e^{- h_{n} (1 + t^{2})} - 1}{- h_{n} (1 + t^{2})}$ dt .

Die durch den Integranden rechts in der Variablen t bei festem x definierte Funktionenfolge (f_n)_{n  ∈  ℕ} auf [ 0, 1 ] konvergiert gleichmäßig (da der Bruch gleichmäßig gegen 1 konvergiert). Nach dem Vertauschungssatz in 1. 3 kann also der Limes in das Integral hineingezogen werden, woraus die Behauptung folgt. Diese Vertauschbarkeit gilt auch in ähnlichen Fällen. Wir werden einen allgemeinen Satz hierzu in 3. 4 beweisen.