Die Eulersche Gamma-Funktion

 Wir beginnen mit einem einfachen uneigentlichen Integral:

∫^∞₀ e^−t dt  =  lim_{b → ∞} ${\left.-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}\right|}_0^{\mathrm{b}}$  =  lim_{b → ∞} ${\left.-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}\right|}_{\mathrm{a}}^0$  =  lim_{b → ∞} − e^− b + 1  =  1.

Durch partielle Integration erhalten wir (in kompakter Notation):

∫^∞₀ t e^−t dt  =  0  +  ∫^∞₀ e^−t dt  =  1,

∫^∞₀ t² e^−t dt  =  0  +  2 ∫^∞₀ t e^−t dt  =  2 · 1  =  2,

∫^∞₀ t³ e^−t dt  =  0  +  3 ∫^∞₀ t² e^−t dt  =  3 · 2  =  6.

Induktiv ergibt sich für alle n ≥ 1:

∫^∞₀ tⁿ e^−t dt  =  0  +  n ∫^∞₀ t^n − 1 e^−t dt  =  n · (n − 1)!  =  n!

Wir lassen nun im Exponenten allgemeiner reelle Zahlen zu und definieren:

 Nach unserer Vorüberlegung gilt

Γ(n + 1)  =  ∫^∞₀tⁿ e^−t dt  =  n!  für alle n  ∈  ℕ.

Traditionell wird Gamma-Funktion mit t^x − 1 und nicht t^x definiert. Im Integranden „kämpft“ die Potenz t^x − 1 gegen die schnell abfallende Funktion e^−t an. Ist t hinreichend groß, so ist t^x + 1e^−t ≤ 1 und damit t^x − 1e^−t ≤ t⁻². Dies zeigt, dass

lim_b → ∞  ∫^b₁t^x − 1 e^−t dt

existiert. Für alle x > 0 gilt zudem

lim_{a ↓ 0}  ∫¹_at^x − 1 dt  =  lim_{a ↓ 0} ${\left.\frac{{\mathrm{t}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\right|}_{\mathrm{t}=\mathrm{a}}^{\mathrm{t}=1}$  =  lim_{a ↓ 0} ^{1  −  ax}_x  =  ¹_x.

Wegen e^−t ≤ 1 für alle t ≥ 0 existiert also uneigentliche Integral in der Definition der Gamma-Funktion für alle x > 0.

 Durch unsere Motivation ist nicht mehr überraschend:

 Eine Anwendung der Substitutionsregel zeigt:

 Dass sich Γ(x) wie 1/x verhält, wenn x gegen Null konvergiert, hatten wir oben schon bemerkt. Die Funktionalgleichung erlaubt einen einfachen Beweis:

lim_{x ↓ 0} ^Γ(x)_1/x  =  lim_{x ↓ 0} x Γ(x)  =  lim_{x ↓ 0} Γ(x + 1)  =  Γ(1)  =  1.

 Eine weitere wichtige Eigenschaft der Gamma-Funktion ist:

Der Beweis kann mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung, die wir im zweiten Abschnitt kennenlernen werden, einfach geführt werden. Wir begnügen uns an dieser Stelle mit einer Visualisierung.

 Aus der logarithmischen Konvexität gewinnt man die (bereits Euler bekannte) Darstellung:

 Im Beweis haben wir die Integraldefinition gar nicht verwendet, sondern nur einige Eigenschaften von Γ. Wir erhalten:

 Dass auf (c) nicht verzichtet werden kann, zeigen Funktionen der Form h Γ, wobei h : ] 0, ∞ [ → ] 0, ∞ [ eine beliebige Funktion der Periode 1 mit h(1) = 1 ist.

Fortsetzung der Gamma-Funktion

 Die Funktionalgleichung erlaubt eine Fortsetzung der Gamma-Funktion nach ℝ − { 0, −1, −2, … }. Denn die Umformung

Γ(x)  =  ^{Γ(x + 1)}_x

können wir zur Definition von Γ im Intervall ] −1, 0 [ dann zur Definition von Γ im Intervall ] −2, −1 [ usw. verwenden. Das folgende Diagramme zeigt die entstehende (wieder Γ genannte) Funktion Γ : ℝ − { 0, −1, −2, … } → ℝ.

 Alternativ können wir die Gauß-Darstellung zur Definition von Γ(x) für alle x verwenden, die keine negativen ganzen Zahlen sind.

Der Wert der Gamma-Funktion an der Stelle 1/2

 Der Wert von Γ an der Stelle 1/2 hängt eng mit dem Wert des Gauß-Integrals zusammen. Kennt man einen der beiden Werte, so kennt man auch den anderen. Denn mit der Substitution

x  =  s(t)  =  $\sqrt{2\mathrm{t}}$, 

s′(t)  =  $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{t}}}$  =  $\frac{\sqrt{2}}{2}$  t^−1/2

erhalten wir:

∫^∞_−∞ e^−x2/2 dx  =  2  lim_{a ↓ 0,  b → ∞}  ∫^b_a e^{− x2/2} dx

 =  lim_{a ↓ 0,  b → ∞}  $\sqrt{2}$  ∫^b2/2_a²/2 t^−1/2 e^−t dt

 =  $\sqrt{2}$  Γ(1/2).

Damit gilt also

Γ(1/2)  =  $\sqrt{\mathrm{\pi }}$.

Aus der Funktionalgleichung ergeben sich weitere Werte:

Γ(3/2)  =  $\frac{\sqrt{\mathrm{\pi }}}{2}$,  Γ(5/2)  =  ³₄ $\sqrt{\mathrm{\pi }}$,  Γ(7/2)  =  ¹⁵₈ $\sqrt{\mathrm{\pi }}$.

Der Wert von Γ an der Stelle 1/2 fließt auch aus einer weiteren bemerkenswerten Formel, die wir ohne Beweis angeben:

 Die Gamma-Funktion erlaubt eine Fortsetzung ins Komplexe, sodass Γ(z) für alle z  ∈  ℂ − { 0, −1, −2, … } definiert ist. Das genauere Studium dieser faszinierenden Funktion ist eine Aufgabe der Funktionentheorie.