Einfache Mengen reeller Zahlen

 Neben den Zahlenmengen ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ 𝔸 ⊆ ℝ hatten wir Teilmengen der reellen Zahlen bislang vor allem in Form von Definitions- und Wertebereichen von Funktionen f : P → ℝ kennengelernt. Die wichtigsten Beispiele waren offene, halboffene oder abgeschlossene Intervalle, die beschränkt oder unbeschränkt sein konnten, und endliche Vereinigungen derartiger Intervalle, wie etwa der Definitionsbereich ] −∞, 0 [ ∪ ] 0, ∞ [ der Funktion f mit f (x) = 1/x für alle x ≠ 0. Im Folgenden wollen wir allgemeinere, aber immer noch in einem gewissen Sinne einfache Teilmengen der reellen Zahlen betrachten. Dabei nehmen wir einen „topologischen Standpunkt“ ein, der vor allem geometrische Struktureigenschaften im Blick hat. Ist ein beschränktes Intervall I gegeben, so fragt der Topologe nicht, wie lang das Intervall ist, sondern ob I seine Randpunkte enthält. Natürlich ist die Länge eines Intervalls eine wichtige mathematische Größe. Dass aber auch die topologische Frage ihre Berechtigung hat, wird der Leser sofort einsehen, wenn er die Intervalle ] 0, 1 ] und [ 0, 1 ] betrachtet und die unbeschränkte stetige Funktion g auf ] 0, 1 ] mit g(x) = 1/x mit dem Satz vergleicht, dass jede stetige Funktion auf [ 0, 1 ] ihr Maximum und ihr Minimum annimmt und gleichmäßig stetig ist. Der Randpunkt 0 der Intervalle ] 0, 1 ] und [ 0, 1 ] ist ein kleiner − und für die Längenfrage sogar nichtiger − Unterschied mit großer Wirkung. Die genaue Analyse dieses Unterschieds führt in eine eigenartige Welt, in der der Begriff der Stetigkeit in einem besonders klaren und weitreichenden Licht erscheint, das uns zu neuen Entdeckungen einlädt. Wir gewinnen dort auch einen ersten Eindruck von der ungeheuren Komplexität der Potenzmenge ℘(ℝ) = { X | X ⊆ ℝ } der reellen Zahlen. Bereits vergleichsweise einfach zu definierende Teilmengen des Kontinuums bergen Überraschungen und werfen schwierige Fragen auf.

 Für den Anfänger ist die topologische Betrachtung oft nicht leicht nachvollziehbar. Die Grundbegriffe sind ungewohnt, die vertrauten Funktionen werden zunächst durch die Mengen verdrängt, das Ziel des Unterfangens mag nicht klar zu sehen sein, und die Beweise scheinen oft nur aus elementaren Umformungen zu bestehen, die zusammengenommen eine undurchsichtige Argumentation ergeben. Auch deswegen wird fürs Erste die reelle Zahlengerade zugrunde gelegt. Sie gibt der Anschauung Halt und ist ja auch der historische Nährboden der Topologie. Weiter darf man um Geduld bitten, denn das Neue braucht Zeit, um richtig gesehen zu werden.

 Wir beginnen mit einigen Wiederholungen. Für jedes ε > 0 hatten wir die offene ε-Umgebung Uε(p) eines Punktes p  ∈  ℝ definiert durch

Uε(p)  =  ] p − ε, p + ε [  =  { x  ∈  ℝ | p − ε  <  x  <  p + ε }.

Die Menge Uε(p) können wir auch mit Hilfe des Abstands |x − y| definieren:

Uε(p)  =  { x  ∈  ℝ | |x − p| < ε }.

Der über den Betrag definierte Abstand besitzt die folgenden Eigenschaften, die für alle reellen Zahlen x, y, z gültig sind:

(a)

|x − y|  =  0  genau dann, wenn  x = y,

(b)

|x − y|  =  |y − x|, (Symmetrie)

(c)

|x − z|  ≤  |x − y|  +  |y − z|. (Dreiecksungleichung)

 Für das Folgende sind vielleicht noch einige Bemerkungen zur Verwendung von Bezeichnungen hilfreich.

Konventionen

Für einen Punkt oder eine Teilmenge von ℝ verwenden wir wie schon bisher bevorzugt p bzw. P als Bezeichnungen: „p“ für „Punkt“ (engl. „point“) und „P“ für „Punktmenge“ (engl. „point-set“). Sind p oder P vergeben, so sind x bzw. X gute Variable für Punkte und Punktmengen, etwa in

Uε(p)  =  { x  ∈  ℝ | |x − p| < ε },  ℘(P)  =  { X ⊆ ℝ | X ⊆ P }.

Ist lediglich P vergeben, so verwenden wir p oder x als bevorzugte Punktvariable, etwa in

ℝ − P  =  { p  ∈  ℝ | p  ∉  P }  =  { x  ∈  ℝ | x  ∉  P }  usw.

Punktmengen eines bestimmten Typs werden häufig durch eigene Buchstaben angezeigt. Dies kennen wir schon für reelle Intervalle, die wir mit „I“ bezeichnet hatten (daneben wird „I“ aber auch für beliebige Indexmengen verwendet). Im Folgenden werden „signalisierende Buchstaben“ für sog. offene Mengen, Umgebungen und abgeschlossene Mengen hinzukommen.