Perfekte Mengen

Beim Übergang von P zu P′ gehen genau die Punkte von P verloren, die keine Häufungspunkte von P sind. Wir definieren:

Definition (isolierter Punkt)

Sei P ⊆ ℝ, und sei p  ∈  P. Dann heißt p ein isolierter Punkt von P, falls eine Umgebung U von p existiert mit P ∩ U = { p }.

Nach Definition gilt

P − P′ = { p  ∈  P | p ist ein isolierter Punkt von P }.

Beispiele

Ist P diskret, d. h. P′ = ∅, so ist jeder Punkt von P isoliert. In der Menge P = { 1/n | n ≥ 1 } sind alle Punkte isoliert, aber es gilt P′ = { 0 } ≠ ∅. In P ∪ { 0 } ist 0 nicht isoliert. Das Intervall [ 0, 1 [ hat keine isolierten Punkte.

Weiter definieren wir:

Definition (perfekt)

Ein P ⊆ ℝ heißt perfekt, falls P abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte besitzt.

Alle abgeschlossenen − beschränkten oder unbeschränkten − Intervalle sind perfekt. Insbesondere sind ∅ und ℝ perfekt. Weiter sind die perfekten Mengen abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen und Schnitten. Aus der Charakterisierung der abgeschlossenen Mengen erhalten wir:

Satz (Ableitungscharakterisierung der perfekten Mengen)

Sei P ⊆ ℝ. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	P ist perfekt.

(b)

P′ = P.

Der neugierige Leser wird vielleicht fragen:

Die Eigenschaft „P′ ⊆ P“ heißt „abgeschlossen“ und „P′ = P“ heißt „perfekt“.

Hat nicht auch die Eigenschaft „P ⊆ P′“ eine Bedeutung ?

In der Tat! Die Eigenschaft „P ⊆ P′“ besagt, dass jeder Punkt von P ein Häufungspunkt von P ist. Mengen mit dieser Eigenschaft nennt man in sich dicht. Beispiele sind alle offenen Mengen sowie ℚ und [ a, b ] ∩ ℚ für alle a < b. Die perfekten Mengen sind genau die Mengen, die abgeschlossen und in sich dicht sind.