Randpunkte und Rand einer Menge

 Mit Hilfe des Umgebungsbegriffs können wir auch definieren, was wir unter einem Randpunkt einer Menge verstehen wollen:

Definition (Randpunkt)

Sei P ⊆ ℝ. Ein p  ∈  ℝ heißt ein Randpunkt von P, falls für jede Umgebung U von p Punkte x, y  ∈  U existieren mit x  ∈  P und y  ∉  P.

 Umgebungen von Randpunkten enthalten also immer sowohl Punkte der Menge als auch Punkte ihres Komplements. In ε-Formulierung lautet die Bedingung:

Für alle ε > 0 gilt Uε(p) ∩ P ≠ ∅ und Uε(p) − P ≠ ∅.

Beispiele

Ist P endlich, so ist jedes Element von P ein Randpunkt von P. Der Punkt 1 ist ein Randpunkt von [ 0, 1 ], ] 0, 1 [, [ 0, 1 [ und [ 0, 2 ] − { 1 }, obwohl er anschaulich nicht unbedingt „am Rand“ der letzten Menge liegt.

 Sammeln von Randpunkten definiert eine weitere topologische Operation:

Definition (Rand)

Für alle P ⊆ ℝ heißt

bd(P)  =  ∂ P  =  { p  ∈  ℝ | p ist ein Randpunkt von P }

der Rand von P.

 Hier steht „bd“ für engl. „boundary“. Es gilt:

Satz (Eigenschaften des Randes)

Für alle P ⊆ ℝ gilt:

(a)

bd(P)  =  cl(P)  −  int(P)  =  cl(P)  ∩  (ℝ − int(P)),

(b)

bd(P)  =  cl(P)  ∩  cl(ℝ − P)  =  bd(ℝ − P).

 Die Darstellungen zeigen den Rand als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen und trivialisieren den Nachweis seiner Abgeschlossenheit. Sie sind ein schönes Beispiel für die „elementarmagischen“ Umformulierungen der Topologie.

 Für eine offene Menge U und eine abgeschlossene Menge A gelten:

bd(U)  =  cl(U)  −  int(U)  =  (U ∪ U′)  −  U  =  U′  −  U,

bd(A)  =  cl(A)  −  int(A)  =  A  −  int(A).