Produkte von metrischen Räumen

 Eine wichtige allgemeine Konstruktionsmethode für metrische Räume ist die Produktbildung. Sind (X1, d1), …, (Xn, dn) metrische Räume, so können wir auf dem kartesischen Produkt X = X1 × … × Xn mit Hilfe von d1, …, dn verschiedene Metriken definieren, sog. Produktmetriken. Die folgende Definition stellt zwei Möglichkeiten vor.

Definition (Metrisierung endlicher Produkte)

Sei n  ∈  ℕ, und seien (Xk, dk) metrische Räume für 1 ≤ k ≤ n. Weiter sei

X  =  X1  ×  …  ×  Xn  =  { (x1, …, xn) | xk  ∈  Xk für alle 1 ≤ k ≤ n }.

Dann setzen wir für alle x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn)  ∈  X:

dmax(x, y)  =  max1 ≤ k ≤ n dk(xk, yk), 

dσ(x, y)  =  ∑1 ≤k ≤ n dk(xk, yk).

Wir nennen dmax die Maximumsmetrik und dσ die Summenmetrik der Metriken d1, …, dn. Weiter schreiben wir

(X, dmax)  =  ∏max1 ≤ k ≤ n (Xk, dk)  bzw.  (X, dσ)  =  ∏σ1 ≤ k ≤ n (Xk, dk).

 Man weist leicht nach, dass dmax und dσ Metriken auf X sind. Die Konstruktion liefert also metrische Räume (X, dmax) und (X, dσ).

Beispiele

(1)

Die Metriken dmax und dσ aus Beispiel 4 sind die Maximums- bzw. Summenmetrik der Räume (Xk, dk) = (ℝ, d) für alle 1 ≤ k ≤ n, mit der euklidischen Metrik d auf ℝ.

(2)

Sei X eine Menge, und sei d die diskrete Metrik auf X. Weiter sei n  ∈  ℕ. Dann gilt für alle (x1, …, xn), (y1, …, yn)  ∈  Xn:

dmax(x1,…,xn),(y1,…,yn) =  0falls xk=yk fürallek,1sonst.

dσ((x1, …, xn), (y1, …, yn))  =  | { k | xk  ≠  yk } |.

Damit ist also dmax die diskrete Metrik auf Xn, während die Metrik dσ zählt, an wievielen Koordinaten sich zwei n-Tupel unterscheiden.

 Im Ausblick zu diesem Kapitel werden wir auch unendliche Produkte von metrischen Räumen einführen. Hier wenden wir uns nun weiteren Konstruktionen zu, die Metriken aus geometrischen Strukturen gewinnen.