Normen aus Skalarprodukten
Viele reelle oder komplexe Vektorräume sind mit einem Skalarprodukt versehen und damit automatisch auch mit einer Norm:
Definition (von einem Skalarprodukt induzierte Norm)
Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, und sei 〈 ·, · 〉 : V × V → K mit K = ℝ bzw. K = ℂ das Skalarprodukt des Raumes. Dann heißt die Abbildung ∥ · ∥ : V → ℝ mit
∥ v ∥ = für alle v ∈ V
die von dem Skalarprodukt auf V induzierte Norm.
Beispiele
(1) | Das kanonische Skalarprodukt 〈 x, y 〉 = ∑1 ≤ k ≤ n xkyk, x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn) auf dem ℝn induziert die euklidische Norm. Analoges gilt für das kanonische Skalarprodukt auf dem ℂn, 〈 z, w 〉 = ∑1 ≤ k ≤ n zk wk, z = (z1, …, zn), w = (w1, …, wn). |
(2) | Das Skalarprodukt 〈 f, g 〉 = ∫baf (x) g(x) dx induziert die L2-Norm auf dem reellen Vektorraum 𝒞([ a, b ]). |
Mit dem Skalarprodukt des zweiten Beispiels werden wir uns bei der Untersuchung von Fourier-Reihen noch genauer beschäftigen.
Wir haben also die Abstufungen:
Skalarprodukt ↷ Norm ↷ Metrik.
Dagegen stammt nicht jede Metrik von einer Norm und auch nicht jede Norm von einem Skalarprodukt (vgl. die folgende Sektion). Wir werden später sehen, dass wir auf der rechten Seite auch noch
Metrik ↷ Topologische Begriffsbildungen, Stetigkeit
hinzufügen können. Auch hier wird gelten, dass nicht alle topologischen Kontexte von einer Metrik stammen.
Die Implikationen zeigen, dass ein mit einem Skalarprodukt versehener Vektorraum einen ausgezeichneten Rahmen für metrische und topologische Untersuchungen bildet. Die Analysis und die lineare Algebra geben sich hier die Hand.