Der Wegzusammenhang
Eine wichtige Variante des topologischen Zusammenhangs ist der Wegzusammenhang. Die Vorstellung dabei ist, dass wir von einem Punkt des Raumes zu jedem anderen Punkt des Raumes gehen können, ohne zu springen. Mit Hilfe stetiger Funktionen können wir diese Vorstellung mathematisch fassen:
Definition (wegzusammenhängend, stetiger Pfad)
Ein metrischer Raum (X, d) heißt wegzusammenhängend, wenn für alle x, y in X eine stetige Funktion f : [ 0, 1 ] → X existiert mit f (0) = x und f (1) = y. Die Funktion f heißt dann auch ein (stetiger) Pfad von x nach y in X.
Der metrische Teilraum X der euklidischen Ebene ℝ2 des Diagramms ist wegzusammenhängend. Er besteht aus einer offenen Kreisscheibe, einem abgeschlossenen Geradenstück und einer abgeschlossenen Ellipsenlinie. Streichen wir das Geradenstück, geht der Wegzusammenhang verloren.
Ein wegzusammenhängender metrischer Raum ist zusammenhängend. Die Umkehrung gilt für offene Mengen des ℝn mit der euklidischen Metrik, und ein stetiger Pfad kann dann sogar aus achsenparallelen Streckenzügen zusammengesetzt werden (Übung). Die Voraussetzung der Offenheit ist dabei wesentlich. Ein Gegenbeispiel in der euklidischen Ebene ist:
Beispiel: Zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend
Wir verbinden die Punkte
p0 = (1, 0), p1 = (3/4, 1), p2 = (1/2, 0), p3 = (3/8, 1), p4 = (1/4, 0), …
der Ebene durch Linien und fügen dem so entstehenden Zackengebilde den Punkt p* = (0, 0) hinzu. Dies definiert eine Menge X ⊆ ℝ2.
Diese Menge ist unter der euklidischen Metrik topologisch zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. Es gibt stetige Pfade von p nach q für alle p, q ∈ X − { p* }, aber keinen stetigen Pfad von p0 nach p*. Denn wäre f : [ 0, 1 ] → X ein stetiger Pfad von p0 nach p*, so gäbe es eine gegen 1 konvergente Folge (tn)n ∈ ℕ mit f (tn) = p2n + 1 für alle n. Dann wäre aber limn f (tn) = (0, 1) ≠ p* = f(limn tn), also f unstetig im Punkt 1.
Bemerkenswert ist, dass es eine stetige Bijektion g : X → [ 0, 1 ] gibt. Wir setzen hierzu g(x, y) = x für alle (x, y) ∈ X. Anschaulich beschreibt die Funktion g das Herabfallen der Menge X auf das Intervall [ 0, 1 ].
Auch der Wegzusammenhang erzeugt eine Äquivalenz:
Definition (stetige Erreichbarkeit, Wegzusammenhangskomponenten)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir setzen für alle x, y ∈ X:
x ∼c y falls „es gibt einen stetigen Pfad von x nach y in X“.
Gilt x ∼c y, so heißt y stetig erreichbar von x in X. Für alle x ∈ X heißt
x/∼c = { y ∈ X | x ∼c y }
die Wegzusammenhangskomponente oder kurz Wegkomponente von x in X.
Die Relation ∼c ist eine Äquivalenzrelation auf X, und die Zerlegung X/∼c von X ist eine Verfeinerung der Zerlegung X/∼ von X, d. h., eine Wegzusammenhangskomponente ist immer eine Teilmenge einer Zusammenhangskomponente.