Der Wegzusammenhang
Eine wichtige Variante des topologischen Zusammenhangs ist der Wegzusammenhang. Die Vorstellung dabei ist, dass wir von einem Punkt des Raumes zu jedem anderen Punkt des Raumes gehen können, ohne zu springen. Mit Hilfe stetiger Funktionen können wir diese Vorstellung mathematisch fassen:
Definition (wegzusammenhängend, stetiger Pfad)
Ein metrischer Raum (X, d) heißt wegzusammenhängend, wenn für alle x, y in X eine stetige Funktion f : [ 0, 1 ] → X existiert mit f (0) = x und f (1) = y. Das Bild von f heißt dann auch ein stetiger Pfad von x nach y in X.
Der metrische Teilraum X der euklidischen Ebene ℝ2 des Diagramms ist wegzusammenhängend. Er besteht aus einer offenen Kreisscheibe, einem abgeschlossenen Geradenstück und einer abgeschlossenen Ellipsenlinie. Streichen wir das Geradenstück, geht der Wegzusammenhang verloren.
Ein wegzusammenhängender metrischer Raum ist zusammenhängend, die Umkehrung gilt für offene Mengen mit Streckenzügen (Übung), aber nicht allgemein. Folgendes Diagramm zeigt ein Beispiel in der euklidischen Ebene:
Zum Diagramm
Wir verbinden die Punkte
p0 = (1, 0), p1 = (3/4, 1), p2 = (1/2, 0), p3 = (3/8, 1), p4 = (1/4, 0), …
der Ebene durch Linien und fügen dem so entstehenden Zackengebilde den Punkt p* = (0, 0) hinzu. Dies definiert eine Menge X ⊆ ℝ2. Diese Menge ist unter der euklidischen Metrik topologisch zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. Es gibt stetige Pfade von p nach q für alle p, q ∈ X − { p* }, aber keinen stetigen Pfad von p0 nach p*. Denn wäre f : [ 0, 1 ] → X ein stetiger Pfad von p0 nach p*, so gäbe es eine gegen 1 konvergente Folge (tn)n ∈ ℕ mit f (tn) = p2n + 1 für alle n. Dann wäre aber limn f (tn) = (0, 1) ≠ p* = f(limn tn), also f unstetig im Punkt 1. Bemerkenswert ist, dass es dagegen eine stetige Bijektion g : X → [ 0, 1 ] gibt. Wir setzen hierzu g(x, y) = x für alle (x, y) ∈ X. Anschaulich beschreibt die Funktion g das Herabfallen von X auf [ 0, 1 ].
Auch dem Begriff des Wegzusammenhangs können wir eine Äquivalenzrelation zuordnen:
Definition (stetige Erreichbarkeit, Wegzusammenhangskomponenten)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir setzen für alle x, y ∈ X:
x ∼c y falls „es gibt einen stetigen Pfad von x nach y in X“.
Gilt x ∼c y, so heißt y stetig erreichbar von x in X. Für alle x ∈ X heißt
x/∼c = { y ∈ X | x ∼c y }
die Wegzusammenhangskomponente von x in X.
Die Relation ∼c ist eine Äquivalenzrelation auf X, und die Zerlegung X/∼c von X ist eine Verfeinerung der Zerlegung X/∼ von X, d. h., eine Wegzusammenhangskomponente ist immer eine Teilmenge einer Zusammenhangskomponente.