Metrisierbarkeit von topologischen Räumen
Wir gehen nun der Frage nach, welche topologischen Räume von einer Metrik herkommen.
Definition (Metrisierbarkeit)
Ein topologischer Raum (X, 𝒰) heißt metrisierbar, falls eine Metrik d auf X existiert, sodass 𝒰 die von d erzeugte Topologie ist. Eine derartige Metrik d heißt kompatibel mit der Topologie 𝒰.
Bei einer metrisierten Topologie stehen zusätzlich zu den topologischen Begriffen auch alle metrischen Begriffe zur Verfügung. Die Weite und Bedeutung der metrischen Räume wird durch den folgenden tiefen Satz erkennbar, den wir hier ohne Beweis angeben.
Satz (Metrisierbarkeitssatz von Urysohn)
Illustration der dritten Bedingung im Satz von Urysohn
Sei (X, 𝒰) ein topologischer Raum mit:
(a) | (X, 𝒰) besitzt eine abzählbare Basis. |
(b) | Für alle x ∈ X ist { x } abgeschlossen. |
(c) | Für alle x ∈ X und offenen U mit x ∈ U gibt es ein offenes V mit x ∈ V und cl(V) ⊆ U. |
Dann ist (X, 𝒰) metrisierbar.
Das Ergebnis ist modulo der ersten Bedingung optimal, denn in jedem metrischen Raum gelten (b) und (c). Überraschend ist, dass die Bedingung (a) nicht durch die Separabilität von (X, 𝒰) ersetzt werden kann. Dies zeigt:
Beispiel: Nichtmetrisierbarkeit der halboffenen Topologie
Der topologische Raum (ℝ, 𝒰[ )) ist separabel, besitzt aber keine abzählbare Basis. Insbesondere ist (ℝ, 𝒰[ )) nicht metrisierbar.
Zum Beweis beobachten wir, dass ℚ dicht in (ℝ, 𝒰[ )) ist, da jedes Intervall [ a, b [ mit a < b eine rationale Zahl enthält. Ist ℬ ⊆ 𝒰[ ) abzählbar, so gibt es wegen der Überabzählbarkeit von ℝ ein a ∈ ℝ mit a ≠ inf (B) für alle B ∈ ℬ. Dann gibt es aber kein B ∈ ℬ mit B ⊆ [ a, a + 1 [ und a ∈ B. Also ist ℬ keine Basis des Raumes. Damit ist (ℝ, 𝒰[ )) nicht metrisierbar, denn in metrischen Räumen impliziert die Sparabilität die Existenz einer abzählbaren Basis.
In (X, 𝒰[ )) gelten dagegen (b) und (c) im Satz von Urysohn. Denn für alle x ∈ ℝ ist { x } abgeschlossen (da 𝒰[ ) die euklidische Topologie enthält), und ist U offen mit x ∈ U, so gibt es a < b mit x ∈ [ a, b [ = cl([ a, b [) ⊆ U (denn jedes Intervall [ a, b [ ist offen und abgeschlossen in 𝒰[ )).