Der Satz von Heine
Auch die automatische gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen ist ein Kompaktheitsphänomen:
Satz (gleichmäßige Stetigkeit, Satz von Heine)
Sei C ⊆ ℝ kompakt, und sei f : C → ℝ stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig.
Beweis
Sei ε > 0. Da f stetig ist, gibt es für alle p ∈ C ein δ(p) > 0 mit
∀x ∈ Uδ(p)(p) ∩ C |f (x) − f (p)| < ε/2.
Nach der Dreiecksungleichung gilt dann
(+) ∀x, y ∈ Uδ(p)(p) ∩ C |f (x) − f (y)| < ε.
Wir überdecken nun C offen durch
𝒰 = { Uδ(p)/2(p) | p ∈ C }.
Da C kompakt ist, gibt es p1, …, pn ∈ C mit
(++) C ⊆ Uδ(p1)/2(p1) ∪ … ∪ Uδ(pn)/2(pn).
Wir setzen
δ = min1 ≤ k ≤ n δ(pk)/2.
Dann gilt δ > 0. Wir zeigen, dass δ wie gewünscht ist, d. h. dass gilt:
∀x, y ∈ C (|x − y| < δ → |f (x) − f (y)| < ε).
Denn seien x, y ∈ C mit |x − y| < δ. Nach (++) gibt es ein p ∈ { p1, …, pn } mit x ∈ Uδ(p)/2(p) ⊆ Uδ(p)(p). Wegen |x − y| < δ ≤ δ(p)/2 gilt y ∈ Uδ(p)(p). Nach (+) ist also |f (x) − f (y)| < ε.
Der Leser führe sich noch einmal die ursprünglichen Argumente für den Extremwertsatz von Weierstraß und den Satz von Heine für Definitionsbereiche der Form [ a, b ] vor Augen. Für den Satz von Weierstraß hatten wir eine gegen das Supremum des Bildes von f konvergente Folge (yn)n ∈ ℕ und eine zugehörige Urbildfolge (xn)n ∈ ℕ unter f betrachtet und mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge aus (xn)n ∈ ℕ extrahiert, die aufgrund der Limesstetigkeit von f gegen eine Stelle konvergierte, an der f ihr Maximum annahm. Im Beweis des Satz von Heine hatten wir einen Widerspruch erzeugt, indem wir die Verletzung der gleichmäßigen Stetigkeit von f bezeugende Folgen (xn)n ∈ ℕ und (xn′)n ∈ ℕ mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß zu konvergenten Teilfolgen reduzierten, an deren Grenzwert f nicht stetig sein konnte. Es ist kein Zufall, dass der Satz von Bolzano-Weierstraß die alten und die topologische Kompaktheit die neuen Beweise trägt. Wir werden diese Korrespondenz im folgenden Kapitel genauer untersuchen.
Historisch markiert der Satz von Heine die Geburtsstunde des Begriffs der Überdeckungskompaktheit: Heine hat 1870 eine endliche Reduktion einer Intervallüberdeckung zum Beweis des heute nach ihm benannten Ergebnisses verwendet. In seiner Tragweite erkannt wurde der neue Argumentationstyp erst wesentlich später von Borel und Lebesgue um die Wende zum 20. Jahrhundert. Die heutige allgemeine topologische Formulierung der Kompaktheit geht auf Arbeiten von Alexandrov und Urysohn aus den 1920er Jahren zurück.