Tangentialvektoren und Momentangeschwindigkeiten

 Wir betrachten Kurven nun lokal.

Definition (differenzierbare Kurve, Tangentialvektor, regulär, singulär)

Eine Kurve f : [ a, b ] → ℝn heißt (stetig) differenzierbar in t  ∈  [ a, b ], falls die Komponenten f1, …, fn von f (stetig) differenzierbar im Punkt t sind.

Ist f differenzierbar in t, so heißt

f ′(t)  =  (f1′(t), …, fn′(t))   ∈  ℝn

die Ableitung oder der Tangentialvektor von f in t. Gilt f ′(t) ≠ 0, so heißt t regulär. Andernfalls heißt t singulär.

Eine Kurve f heißt (stetig) differenzierbar, falls f in allen t  ∈  [ a, b ] (stetig) differenzierbar ist. Sie heißt regulär, falls jedes t  ∈  [ a, b ] regulär ist.

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f wie in Beispiel 4 oben mit um den Faktor 1/10 skalierten Tangentialvektoren

 In unserer kinematischen Interpretation ist f ′(t) die Geschwindigkeit eines Punktes zur Zeit t, der sich im n-dimensionalen Raum gemäß f von f (a) nach f (b) bewegt. Diese Geschwindigkeit ist ein Vektor im ℝn. Ihr Betrag v ist

v  =  ∥ f ′(t) ∥  =  f1′(t)2 + … + fn′(t)2.

Ist t regulär, so ist f ′(t)/v die auf die Länge 1 normierte Richtung der Geschwindigkeit zur Zeit t. Ist t singulär, so steht der Punkt zur Zeit t im Raum still.

 Ist f : [ a, b ] → ℝn eine differenzierbare Kurve und φ : [ c, d ] → [ a, b ] eine differenzierbare Parametertransformation, so gilt für die reparametrisierte Kurve g = f ∘ φ nach der Kettenregel

g′(s)  =  φ′(s) (f1′(φ(s)), …, fn′(φ(s)))  =  φ′(s) f ′(φ(s))  für alle s  ∈  [ c, d ],

wobei φ′(s) ein Skalar und f ′(φ(s)) ein Vektor im ℝn ist. Ist s regulär für g, so liegt also der Tangentialvektor der Kurve f zur Zeit φ(s) auf derselben Geraden wie der Tangentialvektor der Kurve g zur Zeit s. Ist φ zudem orientierungstreu, so stimmen auch die Richtungen der beiden Tangentialvektoren überein.

Schnittwinkel

 Mit Tangentialvektoren können wir einen Winkel definieren, in dem sich zwei reguläre Kurven schneiden. Wir verwenden hierzu das kanonische Skalarprodukt

〈 v, w 〉  =  ∑1 ≤ i ≤ n vi wi  für alle v, w  ∈  ℝn.

Bekanntlich definiert man den Winkel zwischen zwei Vektoren v, w ≠ 0 im ℝn als das eindeutige α  ∈  [ 0, π ] mit

cos(α)  =  〈 v, w 〉∥ v ∥ ∥ w ∥  ∈  [ −1, 1 ].

Diese Definition übertragen wir nun auf Kurven.

Definition (Schnittwinkel zweier Kurven)

Seien f : [ a, b ] → ℝn, g : [ c, d ] → ℝn Kurven, die in t  ∈  [ a, b ] bzw. s  ∈  [ c, d ] differenzierbar und dort regulär sind. Es gelte f (t) = g(s). Dann heißt das eindeutige α  ∈  [ 0, π ] mit

cos(α)  =  〈 f ′(t), g′(s) 〉∥ f ′(t) ∥ ∥ g′(s) ∥

der Winkel zwischen f und g bei t und s.