Konventionen und Notationen

Bevor wir die mehrdimensionale Differenzierbarkeit definieren, treffen wir noch einige Vorbereitungen (auch zur Vermeidung späterer Irritationen).

Schreibweisen für Vektoren

Elemente des ℝ^d, d ≥ 1, schreiben wir in der Form x = (x₁, …, x_d). Weiter verwenden wir auch die Formen (x, y) für d = 2 und (x, y, z) für d = 3.

Elemente des ℝ³ können wir damit als (x₁, x₂, x₃) oder (x, y, z) angeben.

Dass x für d = 2, 3 als Koordinate auftaucht, während allgemein x  ∈  ℝ^d einen d-dimensionalen Vektor x = (x₁, …, x_d) bezeichnet (weder fettgedruckt noch mit einem Strich oder Pfeil dekoriert), ist in der Regel ungefährlich.

Die Dimensionen n, m und die Indizes j, i

Wir verwenden n für die Dimension des Definitionsbereichs und m für die Dimension des Wertebereichs unserer Funktionen, sowie j = 1, …, n und

i = 1, …, m als zugehörige Koordinatenindizes. Durch diese Wahl erhalten wir (m × n)-Matrizen

A = (a_ij)_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} = (a_ij)_ij

mit m Zeilen und n Spalten, deren Einträge A(i, j) = a_ij die übliche Form haben.

Vektoren als Spaltenvektoren (einspaltige Matrizen)

Für alle d ≥ 1 identifizieren wir Vektoren des ℝ^d mit (d × 1)-Matrizen:

(x₁, …, x_d)  ∈  ℝ^d wird identifiziert mit $( \begin{matrix} x_{1} \\ … \\ x_{d} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^d × 1.

Für A  ∈  ℝ^{m × n} und x  ∈  ℝⁿ ist ein Matrix-Vektor-Produkt Ax  ∈  ℝ^m damit auch ein Produkt zweier Matrizen. Einspaltige Matrizen nennen wir auch Spaltenvektoren. Im Umfeld von Matrizen sind Vektoren des ℝ^d immer Spaltenvektoren.

Kommata und Strichpunkte in Matrizen

Wir vereinbaren folgende Notation:

(1)	Die Matrix A = (a₁, …, a_m)  ∈  ℝ^m × n hat die Zeilen a₁, …, a_m  ∈  ℝⁿ.

(2)	Die Matrix A = (b₁; …; b_n)  ∈  ℝ^m × n hat die Spalten b₁, …, b_n  ∈  ℝ^m.

Ein Komma in einer Matrix deutet also eine neue Zeile an, ein Strichpunkt eine neue Spalte. Diese Notation ist konsistent mit obiger Identifikation eines Vektors (x₁, …, x_d)  ∈  ℝ^d mit einer einspaltigen Matrix: Jedes Komma in (x₁, …, x_d) führt zu einer neuen Zeile, sodass sich eine Matrix mit d Zeilen und einer Spalte ergibt.

Beispielsweise gilt für alle a, b, c, d  ∈  ℝ:

((a, b), (c, d)) = ((a, c); (b, d)) = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$  ∈  ℝ^2 ×2

Analog ist ((1, 2, 3), (4, 5, 6)) = ((1, 4); (2, 5); (3, 6)) usw.

Transposition

Für ein A  ∈  ℝ^{m × n} bezeichnet A^t  ∈  ℝ^n × m die zu A transponierte Matrix. Für alle v₁, …, v_n  ∈  ℝ^m gilt

(v₁; …; v_n)  ∈  ℝ^m ×n, (v₁; …; v_n)^t = (v₁, …, v_n)  ∈  ℝ^n × m

Durch die Transposition werden aus Spalten Zeilen und umgekehrt. Anders formuliert: Aus Strichpunkten werden Kommata und umgekehrt.

Einzeilige Matrizen

Einzeilige Matrizen nennen wir auch Zeilenvektoren. Eine Matrix mit einer Zeile und n Spalten notieren wir in der Form

(x₁ … x_n) = ((x₁); …; (x_n)) = (x₁; …; x_n)  ∈  ℝ^1 × n.

Für alle (x₁, …, x_n)  ∈  ℝⁿ gilt nach unseren Konventionen:

$( \begin{matrix} x_{1} & … & x_{n} \end{matrix} )$ = (x₁, …, x_n)^t,

$( \begin{matrix} x_{1} & … & x_{n} \end{matrix} )$ ^t = $( \begin{matrix} x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} )$ = (x₁, …, x_n)

Schließlich beschränken wir uns auf:

Offene Definitionsbereiche

Die Definitionsbereiche P ⊆ ℝⁿ unserer Funktionen f : P → ℝ^m nehmen wir von nun an als offen und nichtleer an. Ist nichts gesagt, so ist P ⊆ ℝⁿ.

Aufgrund der Offenheit von P gibt es für jedes p  ∈  P und jedes w  ∈  ℝⁿ − { 0 } ein ε > 0, sodass p + α w  ∈  P für alle α  ∈  ] − ε, ε [ gilt. Wir können also p auf der affinen Geraden { p + α w | α  ∈  ℝ } approximieren, ohne den Definitionsbereich von f zu verlassen. Oft würde es genügen, dass p ein Häufungspunkt von P ist oder dass es stärker für jedes p  ∈  P linear unabhängige Vektoren v₁, …, v_n gibt, sodass p für alle j ein Häufungspunkt von P ∩ { p + α v_j | α  ∈  ℝ } ist. Letzteres ist zum Beispiel für abgeschlossene n-dimensionale Quader der Fall. Die vereinfachende Beschränkung auf offene Mengen ist aber kein großer Verlust.

Eine Funktion f : P → ℝ^m, P ⊆ ℝⁿ, können wir wieder schreiben als

f = (f₁, …, f_m) mit f_i(x) = f (x)_i für alle x  ∈  P und alle 1 ≤ i ≤ m.

Diese Komponenten oder Projektionen f₁, …, f_m der Funktion f sind Funktionen von P nach ℝ. Da eine Funktion aus ihren Komponenten besteht, spielt der Fall „n ≥ 1 und m = 1“ eine Schlüsselrolle. Im Vergleich zu den Kurven sind hier die Dimensionen der Stellen und Funktionswerte vertauscht.