Implizite Funktionen

Ein lineares Gleichungssystem

A x = y, A  ∈  ℝ^m × m, x, y  ∈  ℝ^m,

hat bei vorgegebenem y genau dann eine eindeutige Lösung x, wenn A invertierbar ist. Sie ist durch x = A⁻¹ y definiert. Allgemeiner können wir das System

A x + B y = 0, A  ∈  ℝ^m × m, B  ∈  ℝ^m × d, x  ∈  ℝ^m, y  ∈  ℝ^d

betrachten. Das Gleichungssystem „Ax = y“ ist äquivalent zu „Ax − E y = 0“, entspricht also dem Fall d = m und B = − E mit der Einheitsmatrix E  ∈  ℝ^m × m. Bei vorgegebenem y hat das allgemeine System genau dann eine eindeutige Lösung x, wenn A invertierbar ist, und diese Lösung ist gegeben durch

x = − A⁻¹ B y.

Definieren wir also g : ℝ^d → ℝ^m durch

g(y) = − A⁻¹ B y für alle y  ∈  ℝ^d,

so ist die Lösungsfunktion g eine lineare Abbildung mit

A g(y) + B y = 0 für alle y  ∈  ℝ^d.

Wir sagen auch, dass g durch „A x + B y = 0“ implizit definiert wird.

Wir betrachten nun noch allgemeinere Gleichungssysteme der Form

f(x, y) = 0

mit einer Funktion f : ℝ^m × ℝ^d → ℝ^m. Ziel ist wieder, das System nach x  ∈  ℝ^m aufzulösen, sodass wir eine Lösungsfunktion g in der Variablen y  ∈  ℝ^d erhalten. Natürlich können wir die Rollen von x und y vertauschen, aber Lösungsfunktionen in y entsprechen der obigen Betrachtung von linearen Systemen und weiter dem Problem, die Umkehrfunktion einer Funktion „y = f (x)“ zu bestimmen. Ein Beispiel mit m = d = 1 ist

y⁵ − x⁴ + 2 x³ − 3 y + x = 0.

Offenbar ist (a, b) = (0, 0)  ∈   ℝ² eine Lösung. Andere Lösungen zeigt das Diagramm. Wir erkennen, dass wir die Lösungen als Funktion g in y darstellen können, wenn wir uns auf eine hinreichend kleine Umgebung der Lösung (a, b) beschränken. Die Lösungsfunktion g können wir nicht mehr durch einen einfachen Term in der Form „x = g(y)“ definieren, aber sie existiert dennoch und ist zudem für die gewählte Umgebung eindeutig bestimmt. Die Existenz- und Eindeutigkeit lokaler Lösungsfunktionen ist gerade das Thema der folgenden Untersuchungen.

Um den allgemeinen Fall an den linearen Fall zu knüpfen, nehmen wir an, dass f stetig differenzierbar ist, sodass wir die Funktion f in jedem Punkt durch ihre Linearisierung ersetzen können. Die Jacobi-Matrix von f im Punkt p hat die Form

J_f(p) = (A | B)   ∈  ℝ^{m × (m + d)}, mit

	A = (a_ij)  ∈  ℝ^m × m, B = (b_ij)  ∈  ℝ^m × d,
	a_ij = J_f(p)_i j für 1 ≤ i, j ≤ m, b_ij = J_f(p)_{i, j + m} für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ d.

Anschaulich erhalten wir die Matrizen A und B, wenn wir die Matrix J_f(p) nach der m-ten Spalte durchschneiden. Wir nennen A auch den quadratischen Teil von J_f(p). Für alle (x, y)  ∈  ℝ^m × ℝ^d gilt

J_f(p) (x, y) = (A | B) (x, y) = A x + B y   ∈  ℝ^m.

Wir betrachten nun eine Nullstelle (a, b)  ∈  ℝ^m × ℝ^d von f (also eine spezielle Lösung) und die Gleichung

f(x, y) = 0

in der Nähe von (a, b). Ersetzen wir f durch ihre Linearisierung

f(a, b) + J_f(a, b) (x − a, y − b) = J_f(a, b) (x − a, y − b), x  ∈  ℝ^m, y  ∈  ℝ^d

im Punkt (a, b), so wird „f(x, y) = 0“ zum linearen Gleichungssystem

A (x − a) + B (y − b) = 0, wobei J_f(a, b) = (A, B).

Dieses Gleichungssystem ist im Fall der Invertierbarkeit der (m × m)-Matrix A eindeutig nach x auflösbar mit

x = a − A⁻¹ B (y − b).

Da f durch seine Linearisierung bis auf einen Fehler erster Ordnung dargestellt wird, darf man vermuten, dass im Fall der Invertierbarkeit von A auch „f(x, y) = 0“ in einer Umgebung von (a, b) eindeutig nach x auflösbar ist, d. h., zu gegebenem y nahe bei b existiert ein eindeutig bestimmtes x = g(y) nahe bei a, sodass

f(g(y), y) = 0.

Der folgende Satz besagt, dass diese Vermutung korrekt ist und dass die durch „f(x, y) = 0“ implizit definierte lokale Lösungsfunktion g stetig differenzierbar ist und im Punkt b die nach unseren Überlegungen zu erwartende Linearisierung besitzt, nämlich

g(b) + J_g(b) (y − b) = a − A⁻¹ B (y − b).

Satz (Hauptsatz über implizite Funktionen)

Sei f : P → ℝ^m, P ⊆ ℝ^m × ℝ^d stetig differenzierbar, und sei (a, b)  ∈  P mit f (a, b) = 0. Weiter sei

J_f(a, b) = (A | B) mit A  ∈  ℝ^m × m, B  ∈  ℝ^{m × d},

und A sei invertierbar. Dann existieren eine offene Umgebung U ⊆ ℝ^m von a, eine offene Umgebung V ⊆ ℝ^d von b mit U × V ⊆ P und ein stetig differenzierbares g : V → U, sodass für alle y  ∈  V gilt:

(a)	g(y) = „das eindeutige x  ∈  U mit f(x, y) = 0“,

(b)	J_g(y) = − A_y⁻¹ B_y, wobei J_f(g(y), y) = (A_y \| B_y).

Der Leser findet im folgenden Ausblick einen vollständigen Beweis dieses fundamentalen Ergebnisses.

Wir wollen uns die Aussage des Satzes noch einmal verdeutlichen. Unter den Voraussetzungen an f gilt, dass das durch (a, b)  ∈  ℝ^m × ℝ^d gelöste Gleichungssystem

f₁(x₁, …, x_m, y₁, …, y_d) = 0

f₂(x₁, …, x_m, y₁, …, y_d) = 0

…

f_m(x₁, …, x_m, y₁, …, y_d) = 0

in einer Umgebung V von b nach x₁, …, x_m aufgelöst werden kann: Für alle Vorgaben y = (y₁, …, y_d)  ∈  V gibt es eine Lösung x = (x₁, …, x_m) des Systems, und in einer Umgebung U von a sind diese Lösungen zudem eindeutig bestimmt.

Eine Paradeanwendung des Hauptsatzes über implizite Funktionen ist:

Korollar (Ableitung der Umkehrfunktion)

Sei f : P → ℝⁿ, P ⊆ ℝⁿ, stetig differenzierbar, und sei p  ∈  P derart, dass J_f(p)⁻¹ existiert. Dann gibt es eine offene Umgebung U ⊆ P von p mit:

(a)	f : U → f[ U ] ist bijektiv und f[ U ] ist offen,

(b)	g = f ⁻¹ : f[ U ] → U ist stetig differenzierbar,

(c)	J_g(f (x)) = J_f(x)⁻¹ für alle x  ∈  U.

Beweis

Sei f* : P × ℝⁿ → ℝⁿ definiert durch

f*(x, y) = f (x) − y für alle (x, y)  ∈  P × ℝⁿ.

Für (a, b) = (p, f (p)) gilt f*(a, b) = 0. Der Hauptsatz (mit m = d = n) liefert also ein stetig differenzierbares g : V → U mit offenen Umgebungen U ⊆ P von p und V ⊆ ℝⁿ von f (p) derart, dass

g(y) = „das eindeutige x  ∈  U mit f (x) = y“,

J_g(f (x)) = − J_f(x)⁻¹ (− E) = J_f(x)⁻¹ für alle x  ∈  U.

Also ist g die Umkehrfunktion von f auf U und f injektiv auf U. Wir können zudem U = g[ V ] annehmen (durch evtl. Verkleinerung von U), da g [ V ] = f ⁻¹ [ V ] aufgrund der Stetigkeit von f offen ist.

Die Formel für die Jacobi-Matrix der Umkehrfunktion können wir wie im Eindimensionalen aus der Kettenregel gewinnen, wenn wir wissen, dass g differenzierbar ist. Denn mit der Einheitsmatrix E  ∈  ℝ^n × n gilt

E = J_g ∘ f(x) = J_g(f (x)) J_f(x),

sodass die Matrix J_g(f (p)) invers zu J_f(p) ist.

Wie oben können wir das Ergebnis so lesen: Unter den Voraussetzungen des Satzes ist das Gleichungssystem

f₁(x₁, …, x_n) = y₁

…

f_n(x₁, …, x_n) = y_n,

das durch (p, f (p))  ∈  P × ℝⁿ gelöst wird, in einer Umgebung von y = f (p) nach den Variablen x₁, …, x_n auflösbar und in einer hinreichend kleinen Umgebung von x = p sind die Lösungen eindeutig.

Aus dem topologischen Anteil des Korollars erhalten wir ein weiteres bemerkenswertes Ergebnis:

Korollar (Offenheitssatz)

Sei f : P → ℝⁿ stetig differenzierbar, und J_f(p)⁻¹ existiere für alle p  ∈  P. Dann ist f [ U ] offen für alle offenen U ⊆ P.

Beweis

Sei U ⊆ P offen. Dann gibt es für jedes x  ∈  U eine Bijektion

f_x : U_x → f[ U_x ]

mit einer offenen Umgebung U_x ⊆ U von x und einer offenen Menge f [ U_x ]. Dann ist aber f [ U ] offen, denn

f[ U ] = ⋃_{x  ∈  U} f[ U_x ].

Die Stetigkeit einer Funktion ist durch offene Urbilder offener Mengen charakterisiert. Ist f stetig differenzierbar und sind alle Ableitungen invertierbar, so bleibt die Eigenschaft „offen“ auch für Bilder erhalten.

Beispiel

Wir betrachten ein einfaches Beispiel mit m = d = 1, sodass ℝ^m × ℝ^d = ℝ². Sei f : ℝ^m × ℝ^d → ℝ mit

f(x, y) = x² + y² − 1 für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Die Nullstellenmenge von f ist der Einheitskreis:

{ (x, y)  ∈  ℝ^m × ℝ^d | f(x, y) = 0 } = { (x, y)  ∈  ℝ² | x² + y² = 1 } = K₁.

Für alle (x, y)  ∈  ℝ^m × ℝ^d gilt

J_f(x, y) = (2x 2y)  ∈  ℝ^1 × 2.

Sei nun (a, b)  ∈  K₁ eine Nullstelle von f. Dann gilt

J_f(a, b) = (A | B) mit den (1 × 1)-Matrizen A = (2a), B = (2b).

Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn a ≠ 0, d. h., der Punkt (a, b) des Kreises liegt nicht auf der y-Achse. Dann gilt b  ∈  ] −1, 1 [.

Im Fall a > 0 erhalten wir die durch f implizit definierte differenzierbare Funktion g : V → U mit V = ] −1, 1 [ , U = ] 0, ∞ [ , (a, b)  ∈  U × V derart, dass für alle y  ∈  V gilt:

g(y) = $\sqrt{1 - y^{2}}$ = „das eindeutige x  ∈  U mit f(x, y) = 0“,

J_g(y) = − A_y⁻¹ B_y = − ( $\frac{1}{2 \sqrt{1 - y^{2}}}$ ) (2 y) = ( $\frac{- y}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ ), wobei

(A_y | B_y) = J_f(g(y), y) = (2g(y) 2y) = (2 $\sqrt{1 - y^{2}}$ , 2y).

Im Fall a < 0 ist analog V = ] −1, 1 [ , U = ] −∞, 0 [ und

g(y) = − $\sqrt{1 - y^{2}}$  ∈  U, J_g(y) = ( $\frac{y}{2 \sqrt{1 - y^{2}}}$ )

Das Ergebnis entspricht der Auflösung von „x² + y² − 1 = 0“ nach x:

x = ± $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

Sie führt zu zwei möglichen differenzierbaren Funktionen

g(y) = $\sqrt{1 - y^{2}}$ > 0	(rechte offene Kreishälfte) bzw.
g(y) = − $\sqrt{1 - y^{2}}$ < 0	(linke offene Kreishälfte)

mit einem für die Differenzierbarkeit maximalen offenen Definitionsintervall ] −1, 1 [. Die Kreislinie lässt sich in einer Umgebung von (0, ±1) nicht als Funktion in y darstellen.