Die partiellen Ableitungen als Operatoren
Die partiellen Ableitungen ∂1, …, ∂n können wir, für jedes n ≥ 1 und jede offene nichtleere Menge P ⊆ ℝn, als Operatoren lesen. Für eine partiell differenzierbare Funktion f : P → ℝ, P ⊆ ℝn gilt
∂j f : P → ℝ für j = 1, …, n,
sodass jeder Operator ∂1, …, ∂n einem derartigen f eine reellwertige Funktion ∂j f zuordnet. Wir erweitern nun die Operatoren ∂1, …, ∂n in natürlicher Weise auf partiell differenzierbare Funktionen mit Werten in einer beliebigen Dimension m, indem wir sie komponentenweisen anwenden. Für eine partiell differenzierbare Funktion f : P → ℝm gilt also
∂j f = (∂j f1, …, ∂j fm) für j = 1, …, n.
Es gilt ∂1 f : P → ℝm, …, ∂n f : P → ℝm. Für jedes p ∈ P ist ∂j f (p) ein Vektor der Dimension m.
Damit können wir neu beschreiben:
Aufbau der Jacobi-Matrix
Ist f : P → ℝm total differenzierbar, so gilt auf P:
| Jf | = (∂1 f; …; ∂n f)(spaltenweiser Aufbau) |
| = (grad(f1)t, …, grad(fm)t).(zeilenweiser Aufbau) |
Wie vereinbart bedeuten ein Strichpunkt und ein Komma bei der Angabe einer Matrix, dass die Matrix spalten- bzw. zeilenweise mit Vektoren gefüllt wird. Für alle Stellen p ∈ P von f und Vektoren x = (x1, …, xn) ∈ ℝn gilt
| Jf(p) x | = x1 ∂1f (p) + … + xn ∂nf (p) |
| = (〈 grad(f1)(p), x 〉, …, 〈 grad(fm)(p), x 〉) ∈ ℝm. |
Beispiel
Sei f : ℝ2 → ℝ2 mit f(x, y) = (x2 y, x + x y). Es gilt:
Jf (x, y) = für alle (x, y), Jf (p) = für p = (1, 2).
An der Stelle p = (1, 2) gilt also für alle (x, y) ∈ ℝ2:
Jf (p) (x, y) = x + y = .