Rechenregeln für die Differentialoperatoren

 Wir stellen einige Regeln für den Umgang mit den Operatoren zusammen. Um Klammern zu sparen vereinbaren wir:

Konvention

Wir schreiben oft kurz gradf, divg, rotg, spur A usw.

 Im Folgenden können f und g sowohl skalare Funktionen als auch Vektorfelder bezeichnen. Treten beide Typen gemischt auf, so verwenden wir f für skalare Funktionen und g für Vektorfelder.

 Zunächst sind alle Operatoren linear:

Satz (Linearität der Differentialoperatoren)

Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt für alle α, β  ∈  ℝ:

grad(α f + β g)  =  α grad f  +  β grad g,  wobei  f,g : P → ℝ, P ⊆ ℝn,
div(α f + β g)  =  α div f  +  β div g,  wobei  f,g : P → ℝn, P ⊆ ℝn,
rot(α f + β g)  =  α rot f  +  β rot g, wobei  f,g : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3,
∆(α f + β g)  =  α ∆ f  +  β ∆ g,  wobei  f,g : P → ℝ, P ⊆ ℝn.

 Wichtige Produktregeln versammelt der folgende Satz. Dabei geben wir sowohl grad-div-rot-Formulierungen als auch Nabla-Formulierungen an.

Satz (Produktregeln für die Differentialoperatoren)

Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt:

(a)

grad (fg)  =  f gradg  +  g grad f,  ∇(fg)  =  f ∇g  +  g ∇f,  wobei f, g : P → ℝ, P ⊆ ℝn,

(b)

div (fg)  =  〈 grad f, g 〉  +  f div g,  〈 ∇, fg 〉  =  〈 ∇f, g 〉  +  f 〈 ∇, g 〉,  wobei f : P → ℝ, g : P → ℝn, P ⊆ ℝn,

(c)

rot(f × g)  =  (rot f)  ×  g  +  f  ×  (rot g), ∇ × (f × g)  =  (∇ × f)  ×  g  +  f  ×  (∇ × g),  wobei f, g : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3,

(d)

rot(fg)  =  (grad f) × g  +  f rot g,  ∇ × (f g)  =  ∇f × g  +  f (∇ × g), wobei f : P → ℝ, g : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3,

(e)

∆(fg)  =  g ∆f  +  f ∆g  +  2 〈 ∇f, ∇g 〉,  wobei f, g : P → ℝ, P ⊆ ℝn.

 Diese Rechenregeln können anhand der Definitionen der Operatoren direkt nachgewiesen werden. Wir erinnern in diesem Zusammenhang an:

Rechenregeln für Kreuz- und Skalarprodukt

Für alle Vektoren im ℝ3 gilt:

u × v  =  − v × u

〈 u, v × w 〉  =  〈 v, w × u 〉  =  〈 w, u × v 〉 (zyklische Vertauschung)

u × (v × w)  =  〈 u, w 〉 v  −  〈 u, v 〉 w

〈 u1 × u2, v1 × v2 〉  =  〈 u1, v1 〉 〈 u2, v2 〉  −  〈 u1, v2 〉 〈 u2, v1 〉

 Die Liste der Rechenregeln lässt sich noch fortsetzen. So gilt zum Beispiel die folgende Formel für die doppelte Rotation eines zweimal stetig differenzierbaren Vektorfeldes g : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3:

rot rot g  =  grad div g  −  ∆ g,  ∇ × (∇ × g)  =  ∇ 〈 ∇, g 〉  −  ∆ g. (doppelte Rotation)

Die Divergenz 〈 ∇, g 〉 von g ist skalar, sodass der Gradient ∇ 〈 ∇, g 〉 gebildet werden kann. Für den zweiten Term gilt ∆ g = (∆ g1, ∆ g2, ∆ g3) nach der komponentenweisen Anwendung des Laplace-Operators.