Reelle und komplexe Fourier-Reihen

Wir stellen nun die Berechnungsformeln für die Koeffizienten an die Spitze. Der Ansatz ist wieder vergleichbar mit dem Versuch der Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe: Wenn es geht, dann so.

Definition (Fourier-Koeffizienten und Fourier-Reihe einer Funktion)

Sei f : ℝ → ℝ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ]. Dann heißen

a_k = ¹_π ∫^2π₀f (x) cos(k x) dx für alle k ≥ 0 und

b_k = ¹_π ∫^2π₀f (x) sin(k x) dx für alle k ≥ 1

die Fourier-Koeffizienten von f. Weiter heißt

FS(f)(x) = ^a₀₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(k x) + b_k sin(k x))

die Fourier-Reihe von f („FS“ für engl. „Fourier series“).

f (x) cos(x)

f (x) cos(2x)

f (x) cos(5x)

f (x) cos(10x)

Die große Frage lautet nun:

Unter welchen Voraussetzungen und in welcher Form konvergiert

die Fourier-Reihe FS(f) einer 2π-periodischen Funktion f gegen f ?

Unsere bisherigen Überlegungen zeigen:

Korollar

Konvergiert FS(f) gleichmäßig gegen eine Funktion g, so sind FS(f) und FS(g) identisch, und damit konvergiert FS(g) gleichmäßig gegen g.

Beweis

Nach dem Berechnungssatz gelten die die Koeffizienten a_k und b_k von FS(f) definierenden Formeln, wenn wir statt f die Funktion g unter dem Integral einsetzen. Folglich haben FS(f) und FS(g) dieselben Koeffizienten.

Wir können hier nicht erwarten, dass g gleich f ist. Ist zum Beispiel f in genau einem Punkt von [ 0, 2π [ von 0 verschieden, so sind alle Koeffizienten a_k und b_k gleich 0, und damit konvergiert FS(f) gleichmäßig gegen die Nullfunktion. Allgemein gilt: Ist f nicht stetig, so kann FS(f) nicht gleichmäßig gegen f konvergieren, da die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Reihe stetiger Funktionen stetig ist. Einige Fragen, die sich nun stellen, sind: Konvergiert FS(f) gleichmäßig oder wenigstens punktweise gegen f, wenn f stetig ist? Welches Konvergenzverhalten besitzt FS(f) an Unstetigkeitsstellen? Was gilt, wenn die Funktion f lediglich integrierbar ist? Bevor wir uns aber mit derartigen Konvergenzfragen beschäftigen, wollen wir noch eine andere Darstellung der trigonometrischen Reihen entwickeln, die nicht zuletzt auch große notationelle Vorteile mit sich bringt.

Einsatz der komplexen Exponentialfunktion

Den Kosinus und den Sinus hatten wir mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion eingeführt. Es liegt nun nahe, den Komfort und die mathematische Tiefe der komplexen Exponentialfunktion auch zur Darstellung und Untersuchung trigonometrischer Reihen zu nutzen. Dabei treten Reihen mit ganzzahligen Indizes auf. Wir vereinbaren hierzu:

Konvention

Eine Reihe ∑_{k  ∈  ℤ} z_k komplexer Zahlen soll im Folgenden die Partialsummen ∑_{− n ≤ k ≤ n} z_k besitzen und im Fall der Existenz zudem den Grenzwert lim_n → ∞ ∑_{− n ≤ k ≤ n} z_k dieser Partialsummen bezeichnen.

Anders formuliert: Die Reihe ∑_{k  ∈  ℤ} z_k basiert auf der Folge

z₀, z₁ + z₋₁, z₂ + z₋₂, z₃ + z_{− 3}, …

Damit können wir nun die Übersetzung ins Komplexe durchführen.

Satz (komplexe Darstellung einer reellen Fourier-Reihe)

Für alle a, b  ∈  ℝ gilt:

a cos(k x) + b sin(k x) = ^{a − i b}₂ e^i k x + ^a + i b₂ e^−i k x.

Ist also für gegebene (a_k)_k ≥ 0 und (b_k)_k ≥ 1

c₀ = ^a₀₂, c_k = ^{a_k − i b_k}₂, c_− k = c_k für alle k ≥ 1,

so gilt ^a₀₂ + ∑_k ≥ 1 (a_k cos(k x) + b_k sin(k x)) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^{i k x}.

Beweis

Die Formeln folgen wegen 1/i = −i aus

cos(k x) = Re(e^i k x) = ^{e^i k x + e^{− i k x}}₂, sin(k x) = Im(e^i k x) = ^{e^i k x − e^{− i k x}}_2i.

Wir nennen die Reihe ∑_{k  ∈  ℤ} c_ke^i k x wie im Satz die komplexe Darstellung der reellen trigonometrischen Reihe mit den Koeffizienten a_k und b_k. Die Rückübersetzung ins Reelle erfolgt durch die Formeln

a₀ = 2c₀, a_k = Re(2c_k), b_k = − Im(2c_k) für alle k ≥ 1.

Die Berechnung der Koeffizienten ist in komplexer Form besonders übersichtlich. Hierzu verwenden wir das in 1. 1 schon kurz betrachtete Integral für komplexwertige Funktionen:

Definition (Integration komplexwertiger Funktionen)

Eine Funktion f : [ a, b ] → ℂ heißt integrierbar, falls die reellen Funktionen Re(f) : [ a, b ] → ℝ und Im(f) : [ a, b ] → ℝ dies sind. In diesem Fall heißt

I(f) = ∫^b_af = ∫^b_af (x) dx = ∫^b_aRe(f) + i ∫^b_aIm(f)   ∈  ℂ

das Integral von f. Analog ist das unbestimmte Integral ∫f definiert.

Das Integral einer Funktion f : [ a, b ] → ℂ ist eine komplexe Zahl, der Definitionsbereich ist nach wie vor reell. Für unsere Ziele ist vor allem bedeutsam:

Beispiel

∫e^i x dx = ∫cos(x) dx + i ∫sin(x) dx = −sin(x) + i cos(x) = − i e^i x.

Das komplexwertige Integral ist linear. Weiter gilt:

Satz (Betragsabschätzung)

Sei f : [ a, b ] → ℂ integrierbar. Dann ist |f| : [ a, b ] → ℝ integrierbar und

| ∫^b_af | ≤ ∫^b_a|f|.

Zum Beweis verwenden wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Der Vollständigkeit halber beweisen wir sie hier elementar:

Satz (Cauchy-Schwarz-Ungleichung für ℂ)

Für alle v = (v₁, v₂), w = (w₁, w₂)  ∈  ℂ gilt:

v₁ w₁ + v₂ w₂ ≤ |v| |w|. (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)

Beweis

Wir dürfen annehmen an, dass |v| = |w| = 1 gilt und müssen zeigen, dass

(+) v₁ w₁ + v₂ w₂ ≤ 1.

Denn die Aussage ist klar, falls v = 0 oder w = 0 gilt, und der allgemeine Fall folgt aus (+) durch Übergang zu v/|v| und w/|w|. Nach der Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel gilt

v₁ w₁ + v₂ w₂ ≤ $\sqrt{v_{1}^{2} w_{1}^{2}}$ + $\sqrt{v_{2}^{2} w_{2}^{2}}$ ≤ $\frac{v_{1}^{2} + w_{1}^{2}}{2}$ + $\frac{v_{2}^{2} + w_{2}^{2}}{2}$

= $\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}{2}$ + $\frac{w_{1}^{2} + w_{2}^{2}}{2}$ = ^|v|²₂ + ^|w|²₂ = ¹₂ + ¹₂ = 1.

Damit können wir nun die Betragsabschätzung beweisen.

Beweis des Satzes

Wegen |f| = $\sqrt{Re (f)^{2} + Im (f)^{2}}$ ist |f| integrierbar. Wir setzen nun

c = I(Re(f)), d = I(Im(f)), s = |(c, d)| = $\sqrt{c^{2} + d^{2}}$ = | ∫^b_af |.

Ist s = 0, so ist die Behauptung trivial. Sei also s > 0. Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, punktweise für

v = (c, d) und w = f (x) = (Re(f (x)), Im(f (x)))

angewendet, gilt nach Monotonie des reellen Integrals:

s² = ∫^b_ac Re(f)(x) + d Im(f)(x) dx ≤ ∫^b_a|(c, d)||f (x)| dx = s ∫^b_a|f (x)| dx.

Division durch s liefert die Behauptung.

Nach diesen Vorbereitungen zeigen wir nun:

Satz (Berechnungsformel für komplexe Fourier-Koeffizienten)

Sei f : ℝ → ℝ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ], und sei ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x die Fourier-Reihe von f in komplexer Darstellung. Dann gilt

c_k = ¹_2π ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx für alle k  ∈  ℤ.

Beweis

Die Aussage ist klar für k = 0. Für k > 0 gilt

2πc_k = π(a_k − i b_k) = ∫^2π₀f (x) cos(k x) dx − i ∫^2π₀f (x) sin(k x) dx =

∫^2π₀Re(f (x) e^{− i k x}) dx + i ∫^2π₀Im(f (x) e^−i k x) dx = ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx.

Für k < 0 zeigt man die Aussage analog oder durch komplexe Konjugation der Aussage für k > 0.

Damit haben wir also die Funktionen cos(k x) und sin(k x) vollständig durch die einfacher zu handhabenden Funktionen e^i k x, k  ∈  ℤ, ersetzt. Eine natürliche Erweiterung des komplexen Ansatzes ist nun, auch komplexwertige 2π-periodische Funktionen f : ℝ → ℂ zu betrachten. Die Grundfunktionen e^i k x sind ja bereits derartige Funktionen. Wir definieren also:

Definition (Fourier-Reihe einer komplexwertigen Funktion)

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ]. Dann heißen die komplexen Zahlen

c_k = ¹_2 π ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx für alle k  ∈  ℤ

die Fourier-Koeffizienten von f. Weiter heißt

FS(f)(x) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x

die Fourier-Reihe von f. Wir setzen zudem für alle n:

FS_n(f)(x) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x. (n-te Partialsumme von FS(f))

Für alle 2π-periodischen und auf [ 0, 2π ] integrierbaren f : ℝ → ℂ gilt

FS(f) = FS(Re(f)) + i FS(Im(f)),

sodass eine komplexe Fourier-Reihe aus zwei reellen Fourier-Reihen zusammengesetzt ist. Für komplexwertige f : ℝ → ℂ gilt im Allgemeinen jedoch nicht mehr, dass c_{− k} = c_k für alle k  ∈  ℤ.

Die Orthogonalität lässt sich für komplexe Fourier-Reihen ebenso einfach formulieren wie beweisen:

Satz (Orthogonalität* von e^i k x)*

Für alle k, n  ∈  ℤ gilt:

¹_2π ∫^2π₀e^i n x e^−i k x dx = δ_{n, k}.

Beweis

Für n = k ist e^i n x e^−i k x = e^i 0 x = 1 und die Aussage klar. Für n ≠ k ist

e^i n x e^−i k x = e^i m x mit m = n − k ≠ 0.

Damit gilt

∫^2π₀e^i m x dx = ${\frac{1}{i m} e^{i m x}|}_{x = 0}^{x = 2 π}$ = ¹_i m − ¹_i m = 0.

Speziell ist

¹_2π ∫^2π₀e^i n x dx = δ_{n, 0}.

Wir betrachten die Partialsummen der komplexen Fourier-Reihen noch etwas genauer. Hierzu definieren wir:

Definition (komplexes trigonometrisches Polynom)

Eine Funktion f : ℝ → ℂ der Form

f (x) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x für alle x  ∈  ℝ

nennen wir ein komplexes trigonometrisches Polynom mit Koeffizienten c_k  ∈  ℂ.

Die Partialsummen einer komplexen Fourier-Reihe sind also komplexe trigonometrische Polynome. Komplexe trigonometrische Polynome (und allgemeiner komplexwertige 2π-periodische Funktionen) können wir visualisieren, indem wir

Bild(f) = Bild(f|[ 0, 2π [) ⊆ ℂ

zeichnen (in der Sprache der Kurven also die Spur von f betrachten). Die folgenden Diagramme geben einige Beispiele. Um den Verlauf der Kurven deutlicher zumachen, wurden die Funktionswerte

f(^{k π}₄) für k = 0, …, 7

mit den Ziffern k = 0, …, 7 markiert. Nicht angegebene c_k sind gleich 0.

c₀ = 5/2 + 2i, c₁ = 3/2, c₋₁ = 1/2

c₀ = 2 + 3/4i, c₁ = c₂ = i

c₀ = 2 + i, c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = i/2

c₀ = 2 + i, c_k = i/2^k − 1 für k = 1, …, 4

c₀ = 3 + 3/2i,

c_{± 1} = c_{± 3} = i, c_{± 2} = c_{± 4} = 1

c₀ = 2 + 3i,

c_k = i^k − 1/k für k = 1, …, 8

Dirichlet-Kerne

Eine ausgezeichnete Fourier-Reihe erhalten wir, wenn wir alle Koeffizienten c_k gleich 1 setzen (vgl. die geometrische Reihe bei den Potenzreihen). Die Partialsummen dieser Reihe haben einen eigenen Namen:

Definition (Dirichlet-Kern)

Für alle n  ∈  ℕ heißt die Funktion D_n : ℝ → ℂ mit

D_n(x) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} e^i k x für alle x  ∈  ℝ

der n-te Dirichlet-Kern.

Nach den obigen Formeln gilt

∫^2π₀D_n(x) dx = ∑_{−n ≤ k ≤ n} ∫^2π₀e^i k x dx = ∫^2π₀e^i 0 x dx = 2π für alle n.

Aus der Definition kann man ablesen, dass die Dirichlet-Kerne nur Werte in ℝ annehmen. Überraschender ist die folgende einfache Darstellung:

Satz (Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne)

Für alle n und alle x  ∈  ℝ − { 2π a | a  ∈  ℤ } gilt

D_n(x) = ^{sin(n x + x/2)}_sin(x/2).

Weiter ist D_n(2πa) = 2n + 1 für alle a  ∈  ℤ.

Beweis

Sei x  ∈  ℝ − { 2π a | a  ∈  ℤ }. Dann ist e^i x ≠ 1 und damit gilt unter Verwendung der Formel für die endliche geometrische Reihe:

D_n(x) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} e^i k x = e^−i n x ∑_{0 ≤ k ≤ 2n} e^i k x =

e^−i n x ^{1 − e^{i (2n + 1) x}}_{1 − e^i x} = ^{e^−i n x e^−i x/2}_e^−i x/2 ^{e^{i (2n + 1) x} − 1}_{e^i x − 1} =

^{e^{i (n + 1/2) x} − e^{−i (n + 1/2) x}}_{e^i x/2 − e^{− i x/2}} = ^{sin(n x + x/2)}_sin(x/2).

Zudem gilt für alle a  ∈  ℤ, dass

D_n(2πa) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} e^{i k 2π a} = ∑_{− n ≤ k ≤ n} 1 = 2n + 1.

Obwohl die Dirichlet-Kerne einer speziellen Fourier-Reihe entsprechen, können wir mit ihnen allgemeine Partialsummen darstellen:

Satz (Partialsummen und Dirichlet-Kerne)

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ]. Dann gilt für alle n und x:

FS_n(f)(x)	= ¹_2π ∫^2π₀f (t) D_n(x − t) dt
	= ¹_2π ∫^2π₀f(x − t) D_n(t) dt = ¹_2π ∫^2π₀f(x + t) D_n(t) dt.

Beweis

Sei n  ∈  ℕ. Dann gilt für alle x  ∈  ℝ:

FS_n(f)(x) = ∑_{−n ≤ k ≤ n} c_k e^i k x

= ∑_{− n ≤ k ≤ n} ¹_2π ∫^2π₀f (t) e^{− i k t} dt e^i k x

= ¹_2π ∫^2π₀f (t) ∑_{−n ≤ k ≤ n} e^{i k (x − t)} dt

= ¹_2π ∫^2π₀f (t) D_n(x − t) dt

= ¹_2π ∫^x − 2π_x− f(x − y) D_n(y) dy

= ¹_2π ∫^2π₀f(x − t) D_n(t) dt,

wobei wir im vorletzten Schritt die Substitution „t = s(y) = x − y“ verwenden und im letzten Schritt benutzen, dass der Integrand 2π‑periodisch ist.

Analog führt die Substitution „t = s(y) = x + y“ zusammen mit der Eigenschaft D_n(−t) = D_n(t) zum Term f(x + t) im Integranden.

Definition (Fourier-Koeffizienten und Fourier-Reihe einer Funktion)

Korollar

Beweis

Einsatz der komplexen Exponentialfunktion

Konvention

Satz (komplexe Darstellung einer reellen Fourier-Reihe)

Beweis

Definition (Integration komplexwertiger Funktionen)

Beispiel

Satz (Betragsabschätzung)

Satz (Cauchy-Schwarz-Ungleichung für ℂ)

Beweis

Beweis des Satzes

Satz (Berechnungsformel für komplexe Fourier-Koeffizienten)

Beweis

Definition (Fourier-Reihe einer komplexwertigen Funktion)

Satz (Orthogonalität von ei k x)

Beweis

Definition (komplexes trigonometrisches Polynom)

Dirichlet-Kerne

Definition (Dirichlet-Kern)

Satz (Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne)

Beweis

Satz (Partialsummen und Dirichlet-Kerne)

Beweis

Satz (Orthogonalität* von e^i k x)*