Lineare Systeme

Zu den einfachsten Systemen von Differentialgleichungen gehören:

Definition (lineares System)

Ein n-dimensionales System von Differentialgleichungen erster Ordnung heißt linear, wenn es von der Form

y′ = A(x) y + b(x), x  ∈  I,

ist, mit einem reellen Intervall I, einer stetigen matrixwertigen Funktion A : I → ℝ^n × n und einer stetigen Funktion b : I → ℝⁿ. Ist b = 0, so heißt das System homogen. Andernfalls heißt es inhomogen.

Schreiben wir A(x) in der Form

A(x) = $( \begin{matrix} a_{11} (x) & … & a_{1 n} (x) \\ … & … & … \\ a_{n 1} (x) & … & a_{nn} (x) \end{matrix} )$ ,

so ist die Stetigkeit von A : I → ℝ^n × n gleichwertig dazu, dass alle Funktionen a_ij : I → ℝ stetig sind. Dies ist sicher erfüllt, wenn A(x) konstant gleich einer Matrix A  ∈  ℝ^n × n ist. Im Allgemeinen hängen die Einträge der Matrizen A(x) aber von x ab.

Die wichtigsten Ergebnisse der Lösungstheorie linearer Systeme sind:

Satz (Lösungen linearer Systeme und Anfangswertprobleme)

(a)	Jedes lineare AWP y′ = A(x) y + b(x), y(x₀) = y₀, mit x₀  ∈  I, y₀  ∈  ℝⁿ besitzt eine eindeutige Lösung f : I → ℝⁿ. Ist I kompakt, so liefert das Iterations-Verfahren von Picard-Lindelöf eine auf ganz I definierte Lösung.

(b)	Die Lösungen f : I → ℝⁿ des homogenen Systems y′ = A(x) y bilden einen n-dimensionalen ℝ-Vektorraum L. Die Lösungen des inhomogenen Systems y′ = A(x) y + b(x) haben die Form f + g, wobei f  ∈  L und g irgendeine Lösung des inhomogenen Systems ist.

Eine Basis des Lösungsraumes L eines homogenen Systems heißt ein Fundamentalsystem. Sind f₁, …, f_n  ∈  L gefunden, so bilden diese Lösungen genau dann ein Fundamentalsystem, wenn für ein (alle) x  ∈  I die Determinante der aus den Zahlen f₁(x), …, f_n(x) gebildeten Matrix von Null verschieden ist.

Die Übersetzung in ein n-dimensionales System erster Ordnung liefert:

Satz (Lösungen linearer Differentialgleichungen n-ter Ordnung)

(a)	Jedes eindimensionale AWP n-ter Ordnung der Form y⁽ⁿ⁾ = a_n − 1(x) y^(n − 1) + … + a₁(x) y′ + a₀(x)y + b(x), y(x₀) = y₀, y′(x₀) = y₁, …, y^(n − 1)(x₀) = y_n, mit stetigen a_i : I → ℝ, b : I → ℝ und x₀  ∈  I, y = (y₀, …, y_n − 1)  ∈  ℝⁿ besitzt eine eindeutige Lösung f : I → ℝⁿ.

(b)	Die Lösungen φ : I → ℝ von y′ = a_n − 1(x) y^(n − 1) + … + a₁(x) y′ + a₀(x)y bilden einen n-dimensionalen ℝ-Vektorraum L. Die Lösungen von y′ = a_n − 1(x) y^(n − 1) + … + a₁(x) y′ + a₀(x)y + b(x) haben die Form f + g, wobei f  ∈  L und g irgendeine Lösung ist.

Auch hier nennt man eine Basis von L ein Fundamentalsystem der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung

y⁽ⁿ⁾ = a_n − 1(x) y^(n − 1) + … + a₁(x) y′ + a₀(x)y.

Lösungen f₁, …, f_n  ∈  L bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn für ein (alle) x  ∈  I die Wronski-Determinante W(x) von Null verschieden ist, wobei

W(x) = W_{f₁, …, f_n}(x) = $| \begin{matrix} f_{1} (x) & … & f_{n} (x) \\ f_{1} ′ (x) & … & f_{n} ′ (x) \\ … & … & … \\ f_{1}^{(n - 1)} (x) & … & f_{n}^{(n - 1)} (x) \end{matrix} |$ .

Beispiel

Zu Beginn des Abschnitts hatten wir die Differentialgleichung y″ = − c y, c > 0 untersucht und die Lösungen in der Form

φ(x) = a cos(wx) + b sin(wx), w = $\sqrt{c}$ , a, b  ∈  ℝ

angegeben. Die Differentialgleichung ist homogen linear von zweiter Ordnung, und die Funktionen cos(wx) und sin(wx), x  ∈  ℝ, bilden ein Fundamentalsystem.

Analoge Definitionen und Sätze gelten für komplexe lineare Systeme. Für diese ist A  ∈  ℂ^n × n und b : I → ℂⁿ. Das Intervall I und damit der Definitionsbereich der Lösungen f : I → ℂ ist nach wie vor reell.