Mehrfache eindimensionale Integrale

Wie für die mehrdimensionale Differentiation können wir auch bei der Integration die eindimensionale Theorie für mehrdimensionale Berechnungen verwenden. Zur Illustration der Methode betrachten wir wieder den zweidimensionalen Fall einer Höhenlandschaft f : [ a, b ] × [ c, d ] → ℝ. Für jedes y  ∈  [ c, d ] sei f_y : [ a, b ] → ℝ die Funktion mit

f_y(x) = f(x, y) für alle x  ∈  [ a, b ]. (y-Schnitt von f)

Den Graphen von f_y können wir visualisieren, indem wir den Graphen von f mit der Ebene ℝ × { y } × ℝ schneiden. Wir versuchen nun, f_y zu integrieren. Gelingt dies, so setzen wir

g(y) = I(f_y) = ∫^b_af(x, y) dx.

Gelingt uns dies für alle y  ∈  [ c, d ], so erhalten wir eine Funktion g : [ c, d ] → ℝ, die wir wieder der Integration unterwerfen können. Im Fall der Existenz des Integrals über g gilt dann nach Konstruktion

I(g) = ∫^d_cg(y) dy = ∫^d_c( ∫^b_af (x, y) dx) dy.

Dass nun I(g) identisch mit I(f) sein sollte, wird besonders durch die Interpretation des Integrals als Mittelwert nahegelegt. Denn ein Mittelwert kann beliebig als Mittelwert von Mittelwerten dargestellt werden. In der Tat kann man zeigen, dass für viele integrierbare Funktionen f alle bei diesem Vorgehen gebildeten eindimensionalen Integrale existieren und I(g) = I(f) gilt (vgl. auch die Ergänzungen E12). Wir definieren hierzu:

Definition (schnittweise integrierbar)

Ein f : [ a, b ] × [ c, d ] → ℝ heißt schnittweise integrierbar, wenn für alle x  ∈  [ a, b ] die Funktion f_x : [ c, d ] → ℝ, f_x(y) = f(x, y), und für alle y  ∈  [ c, d ] die Funktion f_y : [ a, b ] → ℝ, f_y(x) = f(x, y), integrierbar ist.

Analog wird der Begriff für höhere Dimensionen erklärt.

Ist f stetig, so ist f schnittweise integrierbar. Ist A ⊆ [ a, b ] × [ c, d ] eine „einfache“ Jordan-messbare Menge wie zum Beispiel ein Kreis, so ist die Funktion 1_A schnittweise integrierbar. Dagegen ist für P = [ 0, 1 ]² die Menge

A = P − { (x, 0)  ∈  P | x ist irrational }

Jordan-messbar mit J(A) = 1, aber die integrierbare Funktion 1_A ist nicht schnittweise integrierbar. Denn die Schnittfunktion (1_A)_y für y = 0 ist die Dirichletsche Sprungfunktion auf [ 0, 1 ].

Unentbehrlich für die Berechnung von Integralen ist nun:

Satz (Integral als Mehrfachintegral)

Sei f : [ a, b ] × [ c, d ] → ℝ schnittweise integrierbar. Dann gilt

I(f) = ∫^d_c∫^b_af(x, y) dx dy = ∫^b_a∫^d_cf(x, y) dy dx.

Eine analoge Aussage gilt für höhere Dimensionen.

Ist also f : [ a, b ] × [ c, d ] → [ 0, ∞ [ schnittweise integrierbar, , so können wir das dreidimensionale Volumen J(A_f) = I(f) der Menge

A_f = { (x, y, z)  ∈  ℝ | x  ∈  [ a, b ], y  ∈  [ c, d ], 0 ≤ z ≤ f(x, y) }

durch ein Doppelintegral berechnen. Zudem dürfen wir die Integrationsreihenfolge frei wählen, was für manche Aufgaben von Vorteil sein kann.

Eine klassische Anwendung des Satzes ist die Berechnung des Volumens der dreidimensionalen Kugel.

Satz (Volumen der Kugel)

Sei r ≥ 0, und sei K = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | ∥ (x, y, z) ∥ ≤ r } die Kugel im ℝ³ mit Radius r und Mittelpunkt 0. Dann gilt

J(K) = ⁴₃ π r³.

Beweis

Sei P = [ −r, r ]², und sei f : P → ℝ die stetige Funktion mit

$f (x, y) = { \begin{matrix} \sqrt{r^{2} - (x^{2} + y^{2})}, & falls x^{2} + y^{2} \leq r^{2}, \\ 0 & sonst. \end{matrix}$

Der Graph von f ist die Oberfläche der oberen Kugelhälfte. Unter Verwendung elementarer Symmetrieeigenschaften des Volumens gilt also:

J(K) = 2 I(f).

Für jedes y  ∈  [ −r, r ] ist das Integral über den Schnitt f_y : [ −r, r ] → ℝ,

f_y(x) = f(x, y) für alle x  ∈  [ − r, r ],

der Flächeninhalt eines Halbkreises mit Radius r_y = $\sqrt{r^{2} - y^{2}}$ . Also gilt

∫^r_−r f_y(x) dx = ∫^r_−r f(x, y) dx = ¹₂ (r² − y²) π für alle y  ∈  [ −r, r ].

Damit erhalten wir:

I(f) = ∫^r_−r ∫^r_−r f(x, y) dx dy = ^π₂ ∫^r_−r r² − y² dy = ^π₂ ( 2 r³ − ^{2 r³}₃) = ²₃ π r³,

J(K) = 2 I(f) = ⁴₃ π r³.