E10
Kennenlernen von Fourier-Reihen

Ergänzungsübung 1

Nennen Sie Beispiele für periodische Funktionen aus der Mathematik und den Naturwissenschaften.

Ergänzungsübung 2

Erklären Sie anschaulich, warum man sich bei der Untersuchung periodischer Funktionen auf eine bestimmte Periode beschränken kann. Begründen Sie, warum die Periode 2π eine ausgezeichnete Rolle spielt.

Ergänzungsübung 3

Skizzieren Sie die trigonometrischen Funktionen sin(k x), cos(k x) für einige ganze Zahlen k. Begründen Sie, warum der Parameter k dieser Funktionen auch Frequenz genannt wird.

Ergänzungsübung 4

Diskutieren Sie qualitative Eigenschaften von reellen trigonometrischen Polynomen k-ten Grades (lokale Extremwerte, Nullstellen, Wertebereich, Symmetrieeigenschaften usw.). Zeichnen oder Plotten Sie typische Graphen.

Ergänzungsübung 5

Diskutieren Sie die Sonderrolle des Koeffizienten a₀ bzw. c₀ einer Fourier-Reihe aus reeller und komplexer Sicht.

Ergänzungsübung 6

Motivieren Sie die Bezeichnung „trigonometrisches Polynom“, indem sie die komplexwertige Darstellung der reellen trigonometrischen Polynome heranziehen.

Ergänzungsübung 7

Beschreiben Sie Analogien und Unterschiede der Begriffspaare „Potenzreihe − Trigonometrische Reihe“, „Taylor-Reihe − Fourier-Reihe“, „Taylor-Koeffizienten − Fourier-Koeffizienten“.

Ergänzungsübung 8

Beschreiben Sie die Abbildungseigenschaften der Funktionen f_k : ℝ → ℂ, k  ∈  ℤ, mit f_k(x) = c_ke^i k x für alle x. Wie kann man derartige Funktionen visualisieren? Auf welchem Definitionsbereich können wir uns diese Funktionen vorstellen?

Ergänzungsübung 9

Beschreiben Sie, für ein k > 0, die Abbildungseigenschaften der Summanden

c_k e^i k x  +  c_−k e^−i k x

einer komplexen Fourier-Reihe. Nehmen Sie weiter an, dass die Koeffizienten c_k von reellen Koeffizienten a_k und b_k herkommen und interpretieren Sie die Umrechnungsformeln zwischen den reellen und komplexen Koeffizienten.

Ergänzungsübung 10

Begründen Sie die Orthogonalitätseigenschaften von sin(kx), cos(kx) und e^ikx anschaulich.

Ergänzungsübung 11

Beschreiben die Funktionsgraphen der Dirichlet-Kerne D_n qualitativ. Welche Konvergenz gilt für n gegen unendlich?

Ergänzungsübung 12

Formulieren Sie präzise Fragen über den Zusammenhang zwischen f und FS(f).

Ergänzungsübung 13

Kommentieren Sie die Aussage: „Wenn FS(f) absolut und gleichmäßig konvergiert, so gegen f.“

Ergänzungsübung 14

Sei f : ℝ → ℝ. Zeichnen Sie ein Diagramm zur Erläuterung der Werte

f (x+),  f (x−),  f (x±),  f ′(x+),  f ′(x−).

Ergänzungsübung 15

Antworten Sie auf die Frage:

„Haben die Mathematiker im 19. Jahrhundert geglaubt, dass FS(f) für alle 2π-periodischen Funktion f gegen f konvergiert?“

Ergänzungsübung 16

Stellen Sie durch Recherche im Internet eine Zeittafel zu Geschichte der Fourier-Reihen zusammen. Welche Begriffe sind direkt oder indirekt mit der Entwicklung der Theorie der Fourier-Reihen verbunden?

Ergänzungsübung 17

Zur Vertiefung der vorangehenden Übung: Beschreiben Sie die Beiträge von einem Mathematiker Ihrer Wahl − etwa Joseph Fourier, Johann Peter Dirichlet, Bernhard Riemann, Georg Cantor − zur Theorie der Fourier-Reihen in größerem Detail (Probleme, Ergebnisse, Wirkungsgeschichte).